Для чего алгебра нужна как наука? Можно ли представить вообще в физической форме sin, cos и для чего они тоже нужны?

Думаю, что пригодится в жизни, вьi еще мало жили.

Сотовый телефон есть? Там работает в том числе - теория сигналов, в которой принимается, что все сигналы не просто синусоидальны - это комплексные экспоненты, более широкое понимание синуса. В розетке дома - синусоидальное напряжение, и огромный раздел электротехники занимается синусоидальными напряжениями и токами. Отрицаете синус? Живите при лучине, будьте честными. Фурье более двухсот лет назад обнаружил, что даже при произвольной форме колеблющуюся струна может быть представлена как бесконечный ряд так называемых "гармоник" - синусов разных частот, образующих так называемый спектр. По сути его открытие работает при mp3 - кодировании звука. Так что выкинуть придется не только телефон, но еще и всю музыку поудалять. И так далее, и так далее, и так далее. При приеме на работу ко мне в лаборатории а-приори понимается, что человек знает, что такое АЧХ, потому что у каждого сейсмодатчика она своя, даже у однотипных - как отпечатки пальцев. Так вот эта самая АЧХ - это зависимость затухания амплитуды синусоидальных сигналов от частоты. Косинус, кстати - это тот же синус, просто сдвинутый на П/2. А еще довольно давно Эйлер обнаружил, что комплексная экспонента может вполне заменить их обоих.
Техника устроена гораздо сложнее, чем о ней думают гуманитарии. И из технарей получаются хорошие гуманитарии: переводчики (бесценные просто), дизайнеры, да что там говорить - поэты и художники тоже. А вот те, кто называют себя "гуманитариями", часто даже таковыми на самом деле не являются. Факт!

Как инструмент для расчётов для других наук
Те же самые синусы и косинусы используются и в архитектуре (без них дом рухнет), и в медицине (не собственно при назначении лекарств, а при разработке чего-либо), и в астрономии (там без них вообще никуда; собственно, они из астрономии вышли), и в географии (в частности при навигации), и в теории музыки... Очень много где

А при работе... Если будешь устраиваться продавцом, то конечно ничего не спросят, а в ряде других профессий могут дать практическую задачу, требующую знаний по тригонометрии

Плохо это, что до сих пор не можете понять. Подозреваю, что и "гуманитарий" из вас никакой. Учитесь мыслить

синусы и косинусы это тригонометрия.
тригонометрию придумали для физики (имхо). ну а физика это наука обширная, которая проецируется на многие профессии, там это и нужно было. например для инженеров, для того чтобы они могли правильный резак сделать из определённой стали нужно было бы в формуле на вычисление прочности использовать тангенс угла резака. но все упростили и записали номинальные данные в таблицах чтобы не сидеть пыхтеть над решением.

алгебра развивает абстрактное мышление