6 дней после покупки туфлей. Нет чека. Треснул каблук, отлетели набойки-поменяли. Есть право на компенсацию ремонта каблука?

Я бы советовал Вам требовать не компенсации ремонта каблука, а возврата денежных средств за туфли.
Отсутствие чека, либо иного документа подтверждающего факт покупки. Не может служить основанием в отказе, удовлетворения требования потребителя, согласно ст18 п. 5 Закона « О защите прав потребителей» .
Вам следует ссылаться на свидетельские показания (приведите любого знакомого, который подтвердит факт покупки) . Тем более что свидетель Вам ещё пригодится в дальнейшем. А теперь о схеме возврата.
Вам необходимо обратиться в магазин, где Вы приобрели данную обувь.
Предварительно написать заявление в 2-х экз. С просьбой расторгнуть договор «Купли – продажи» и возврата денежных средств согласно ст. 18п. 1 Закона «О защите прав потребителей» . Собой Вам необходимо взять свидетеля (знакомого) , который в последствии, если дело дойдёт до суда сможет подтвердить действия сотрудников магазина. На заявлении, которое остается у Вас на руках (второй экз. ) попросите поставить резолюцию о дальнейших действиях магазина, дату, ФИО сотрудника, должность. Магазин должен будет отправить данную обувь на экспертизу. Я советую Вам не оставлять обувь в магазине, с целью не допущения нанесения ей следов «потребительского дефекта» . А в заявлении указать: «О месте, дате, и времени проведения экспертизы Вы просите уведомить Вас дополнительно» , куда Вы и принесёте данную обувь, согласно ст. 18.п. 5 . После проведения экспертизы и в случаи признания наличия «потребительского дефекта» . Вы в праве провести независимую экспертизу и если она признает наличие « скрытого производственного дефекта» . Вам необходимо повторно обратиться в магазин с актом независимой экспертизы и требованием вернуть деньги за обувь и стоимость независимой экспертизы. Причём стоимость обуви Вы можете требовать на момент возврата денег ст. 24 Закона «О защите прав потребителей» .
Денежные средства Вам обязаны вернуть в течение 10 дней согласно ст. 22 Закона «О защите прав потребителей» .
И согласно ст. 13 п. 6 Закона «О защите прав потребителей» , при удовлетворении судом требований потребителя с Магазина будет взыскано 50% от суммы иска, присужденной, в качестве штрафа за отказ в добровольном удовлетворении требования. И Вы также оставляю за собой право осветить данный случай в СМИ и сообщить о возможности привлечения к административной ответственности по ст. 14.8 КоАП.
В случаи не выполнения Ваших требований, обращайтесь в суд. Хотя, я думаю, магазин пойдёт Вам на уступки и вернет все расходы. Если же – нет. Помогу. Будут вопросы. Пишите. Отвечу.
Удачи.

Нет, ремонт за свой счет тока)))

Без чека Вы ничего, к сожалению, не сможете доказать.