в течение какого времени государство может предъявить право на квартиру (наследников нет), когда сроки истекут на жилье

не ранее истечения 6 месяцев со дня открытия наследства

в любое время
срока давности нет

Статья 225. Бесхозяйные вещи

1. Бесхозяйной является вещь, которая не имеет собственника или собственник которой неизвестен, либо вещь, от права собственности на которую собственник отказался.
2. Если это не исключается правилами настоящего Кодекса о приобретении права собственности на вещи, от которых собственник отказался (статья 226), о находке (статьи 227 и 228), о безнадзорных животных (статьи 230 и 231) и кладе (статья 233), право собственности на бесхозяйные движимые вещи может быть приобретено в силу приобретательной давности.
3. Бесхозяйные недвижимые вещи принимаются на учет органом, осуществляющим государственную регистрацию права на недвижимое имущество, по заявлению органа местного самоуправления, на территории которого они находятся.

См. Положение о принятии на учет бесхозяйных недвижимых вещей, утвержденное постановлением Правительства РФ от 17 сентября 2003 г. N 580

По истечении года со дня постановки бесхозяйной недвижимой вещи на учет орган, уполномоченный управлять муниципальным имуществом, может обратиться в суд с требованием о признании права муниципальной собственности на эту вещь.

Бесхозяйная недвижимая вещь, не признанная по решению суда поступившей в муниципальную собственность, может быть вновь принята во владение, пользование и распоряжение оставившим ее собственником либо приобретена в собственность в силу приобретательной давности.

В течении свободного) помоему оригинально)