отец отказался от двойняшек и выставил из дома с мамой, сказав, что дети ему не нужны

Согласие отца потребуют только в том случае, если мама с детьми уезжают в Казахстан на постоянное место жительство.
Для временного выезда детей за пределы РФ, достаточно сопровождения матери.
Если мать выезжает из РФ, на постоянное место жительства, то что бы слукавить на таможней и сказать что они выезжают временно, специального образования не требуется.

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
(в ред. Федеральных законов от 24.06.1999 N 118-ФЗ, от 10.01.2003 N 7-ФЗ)

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ
(ред. от 28.12.2010)
"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"
(принят ГД ФС РФ 18.07.1996)
(с изм. и доп. , вступающими в силу с 15.01.2011)

можно оформить

разрешение нужно

можно вытряхивать ответы из омбудсмена.

Подать на развод и выбить из него алименты, А в Казахстан не советую улетать тут у нас начинает рости общественное напряжение националисты начинают поднимать голову.