Продать квартиру с долгом?

Никак. Если ты не вступил в наследство, квартира не твоя.
Если ты вступил, то продавать ее разве что с долгом.
Скорее всего будет сложно, т. к она должна быть арестована.
Проконсультруйся у юриста, либо агенства. Они больше тебе скажут.

Получать наследство- это право, а не обязанность. Если вы не заявили о своих правах в течение 6 месяцев- то теперь продлевать срок принятия наследства только через суд. Если у вас есть уважительная причина.
А уж если вам удастся оформить право собственности- тогда уже будете думать о продаже

Сначала в права собственности вступить. Продать можно дешевле, если покупатель найдется

Вступайте в наследство. Риелтор найдет покупателя и вы из денег за квартиру сами выплатите долг. Это условие указать в договоре.

Долг с личностью связан, а не с имуществом. Просто УК иногда их вешают на новых собственников, а это незаконно.
Если вы проявили бездействие и знали о наследстве, то этим вы проявили отказ. Восстановить сроки можно, но далеко не всегда это получиться сделать. Ну и вместе с квартирой перейдут и долги на вас.
Если была завещана вам, и другие наследники не заявляли о наследстве, то велика вероятность, что признают выморочным имуществом и она перейдёт в жилой фонд.

П. С. раньше надо было думать.

Очень просто, искать покупателя и продавать. Не запрещено.