Сайт в прямоугольном и квадратном мониторе, в последнем на текст без слез смотреть нельзя.

На одном компьютере?
Верно ли установлено разрешение для "квадратного"? (где, кстати, такие бывают?) )
Например: на мониторе 4:3 можно установить разрешение 1280x768, или 1280х720.
Но и 1280х1024 для них не совсем "правильно".
А вот 1024х768, или 1600х1200 - правильно.
Если разрешение не соответствует пропорциям, тогда на этом мониторе у вас и круг не круглый, и квадрат не квадратный. Шрифты, естественно, тоже меняют пропорции.

Пропорции шрифтов не зависят от разрешения (если оно установлено верно) . Но могут зависеть от системы, наличия шрифта и т. п. Рендеринг точно будет разный в разных системах. У Windows и Mac разные типы сглаживания. В Linux все можно вручную настроить, но тоже отлично от Windows.
Даже на одном мониторе и в одной системе рендеринг может быть разный в разных браузерах.

Можно ссылку? Или хотя бы скриншоты "правильный" и "неправильный" в полный размер.

Адаптация нужна под каждое расширение.

1, Иметь на компьютере несколько альтернативных браузеров и смотреть на шрифты (некоторые шрифты вообще могут не поддерживаться, будут закорючки или типа того) - подобрать один подходяший,
2, Составлять или редактировать таблицу в которой материал, лучше назначить фиксированную ширину, тогда в мониторах с разным разрешением будет корректнее смотреться.
3, Самому изменять в мониторе разрешение, хотябы временно, и смотреть как получается. Ориентироваться на разрешение 1024Х768