при каких значениях P выражение 1/cos x + 1/sin x = 1/ P имеет решение?

Область значений функции
f1(x)=1/cosx (-бесконечность; 1]U[1;+бесконечность) ,
для функции f2(x)=1/sinx также (-бесконечность; 1]U[1;+бесконечность) ,
но для функции f3(x)=1/sinx (-бесконечность; +бесконечность) ,
Значит решение будет при p из (-бесконечность; 0)U(0;+бесконечность) , так p<>0, потому что на 0 делить нельзя

Область значений функции f(x)=1/cosx [-1;0)U(0;1], функции g(x)=1/sinx также [-1;0)U(0;1]. Значит область значений выражения 1/P [-2;0)U(0;2] и следовательно выражение имеет решение при значениях P: [-0.5;0)U(0;0.5]

1. Метод оценки (границ) .

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо толбко возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Пример 1. Найдите множество значений функции y=5 - .

Из определения квадратного корня следует, что 4 - x2 ³ 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2 £ x £ 2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2: 0] и [0: 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2 £ x £ 0, а второму соответствует 0 £ x £ 2. На первом промежутке переменная х принимает неотрицательные значения, а на втором - положительные.

Возведем в квадрат каждое из этих двойных неравенств, в результате получим 0 £ x2 £4.
Умножим все три части неравенства на - 1, - 4 £ - x2 £0.
Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим 0 £ 4 - x2 £ 4.
Пусть t = 4 - x2, где 0 £ t £4.

Функция y = на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 £ £ 2 тогда 0 £ £ 2. Прибавим к трем частя последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на - 1, получим 3 £5 - £ 5.

Множество значений функции y = 5 - является множество [3; 5].

Пример 2. Найти множество значений функции y = 5 - 4sinx.

Из определения синуса следует, -1 £ sinx £ 1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

-4 £ - 4sinx £ 4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

1 £ 5 - 4sinx £ 9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 - 4sinx есть множество [1; 9].

Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.

Преобразуем выражение sinx + cos x =sinx +sin(p/2 - x)
= 2sin((x + p/2 - x)/2)cos((x+p/2 + x)/2) = 2sin(p/4)cos(x+p/4) =
= cos(x + p/4).

Из определения косинуса следует -1 £ cosx £ 1 и из переодичности функции косинус следует неравенство -1 £ cos(x + p/4) £ 1, умножим все три части двойного неравенства на получим - £ cos( x+p/4)£

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y = cos(x+p/4) есть множество [-; ].

Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.

Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 32 + 72 = 9 + 49 = 58 =
Умножим и разделим каждое слагаемое на
3sinx + 7cos x = ( sinx + cosx).
Так как < 1 и < 1. и ()2 + ( 2 = 1, то найдется такое число a, что cosa = и a = . Тогда 3sinx + 7cos x = (cosasinx + sina cosx) = sin(a + x).

Из определения синуса следует, что при любом х справедливо неравенство -1 £ sinx £ 1 и, из периодичности этой функции, следует, что -1 £ sin(a + x) £ 1, тогда умножая все части двойного неравенства на, имеем - £ sin(a + x) £.