дифференциальное уравнение y'(2x-y)=x+2y

Подстановку нужно другую делать!
сделайте замену y=U*x, y'=U'x+U
Все х в правой части сократятся.
Получите ДУ с разделяющимися переменными (его нужно упростить, тогда будет видно, как разделить переменные) , а решив его, сделайте обратную замену U=y/x
Удачи!

( dy/dx ) ( 2x – y ) = x + 2y ;
( 2x – y ) dy = ( x + 2y ) dx ;
( 2x – y ) d( x * y/x ) = ( x + 2y ) dx ;
( 2 – y/x ) d( x * y/x ) = ( 1 + 2y/x ) dx ;
( 2 – y/x ) ( x d(y/x) + y/x dx ) = ( 1 + 2y/x ) dx ;
2x d(y/x) + 2 (y/x) dx – x (y/x) d(y/x) – ((y/x)^2) dx = dx + 2 ( y/x ) dx ;
2x d(y/x) – x (y/x) d(y/x) – ((y/x)^2) dx = dx ;
2x d(y/x) – x (y/x) d(y/x) = dx + ((y/x)^2) dx ;
x ( 2 – y/x ) d(y/x) = ( 1 + ((y/x)^2) ) dx ;
( 2 – y/x ) d(y/x) / ( 1 + ((y/x)^2) ) = dx / x ;
2 d(y/x) / ( 1 + ((y/x)^2) ) – y/x d(y/x) / ( 1 + ((y/x)^2) ) = dx / x ;
4 d(y/x) / ( 1 + ((y/x)^2) ) = d(y/x)^2 / ( 1 + ((y/x)^2) ) + 2 dx / x ;
4 d(y/x) / ( 1 + ((y/x)^2) ) = d( 1 + (y/x)^2 ) / ( 1 + ((y/x)^2) ) + 2 dx / x ;

Интегрируем:

4 arctg(y/x) = ln( 1 + (y/x)^2 ) + 2 ln|x| + C ;
4 arctg(y/x) = ln( 1 + (y/x)^2 ) + ln(x^2) + C ;
4 arctg(y/x) = ln( ( 1 + (y/x)^2 ) x^2 ) + C ;
4 arctg(y/x) = ln( x^2 + y^2 ) + C ;

Обозначим С = –ln( R^2 ) :

4 arctg(y/x) = ln( ( x^2 + y^2 ) / R^2 ) ;

R – некоторое вещественное число, фиксированное в каждом конкретном (частном) решении, которое может быть найдено только при наличии начальных условий.