как доказать, что выражение 3x^2-x+3 положительно при любом значении x?

Действительно найти корни квадратного трехчлена 3x^2-x+3.
Д=(-1)^2 - 4*3*3=1-36=-35<0. Так как дискриминант отрицателен, то корней нет. Значит график не пересекает ось Ох. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при х^2 число 3>0. Поэтому весь график лежит в верхней полуплоскости, т. е. 3x^2-x+3 положительно при любом значении x

Надо выделить полный квадрат.
3x^2-x+3=3(x^2-x/3+1)=3((x-1/6)^2-1/36+1)=3((x-1/6)^2+35/36). Все, в скобках все слагаемые больше нуля. При любом х, выражение (х-1/6)^2 положительно так как возводится в квадрат. И к этому выражению прибавляется 35/36.

3х^2>0 т. к х^2=(-x)^2>0
3x^2-x+3>0. при xєR

3x^2-x+3=3(x^2+1)-x
при x>1 x^2>x а 3(x^2+1) и подавно
при x<=1 3>x а 3(x^2+1) и подавно
следовательно 3(x^2+1)-x>0
3x^2-x+3>0
это если не требуется решать квадратное уравнение
можно конечно пойти прямолинейным путем и решить кв. ур-е
и убедиться что нет корней но исходя из вопроса
я все-же считаю что указанный способ более предпочтителен ибо в вопросе сказано доказать что предполагает доказательство а не решение
хотя и решение в лоб трудно назвать ошибкой!
дополнительный плюс моего способа- он самый простой и быстрый
самый рациональный!

Приравнять к нулю.. . и убедиться что не будет корней.
Т. к. нет корней. . значит этот график функции y=3x^2-x+3 не будет пересекать ноль.. . Подставить любой другой х и убедиться что он положительный.
От сюда можно сделать вывод что график положительный при любом х