Решить систему уравнений методом исключения переменных (методом Гаусса)

для начала определим ранг матриц А и А*:

с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду:

2 -3 5 7 | 1
4 -6 2 3 | 2
2 -3 -11 -15 | 1

2 -3 5 7 | 1
0 0 -8 -11 | 0
0 0 -16 -22 | 0

2 -3 5 7 | 1
0 0 -8 -11 | 0
0 0 0 0 | 0

как видно из преобразованной матрицы, ранги А и А* совпадают, и = 2
ранг меньше количества неизвестных, следовательно система совместна в силу теоремы Кронекера-Капелли и имеет бесконечное множество решений.

за базисный минор возьмем минор треугольного вида:
-3 5
0 -8

базисный минор расположен по столбцам 2 и 3, поэтому базисными неизвестными будут х2 и х3. свободные неизвестные х1 и х4.
Заменим исходную систему равносильной, соответствующей ступенчатой матрице:
2х1 - 3х2 + 5х3 + 7х4 = 1
- 8х3 - 11х4 = 0;

перенесем все члены со свободными неизвестными в правые части уравнений:

3х2 = + 2х1 + 5х3 + 7х4 - 1
8х3 = -11х4;

откуда методом исключений вычисляем х2 = 2/3х1 + 1/24х4 - 1/3, х3 = -11/8х4.

х= {х1; х2; х3; х4} = {х1; 2/3х1 + 1/24х4 - 1/3; -11/8х4; х4 }

для проверки можно подставить {х1; х2; х3; х4}= {0; -7/24; -11/8; 1 } или {х1; х2; х3; х4}= {1; 1/3; 0; 0 } в любое из уравнений системы.

Система не замкнута, её не решить.

Не хватает четвёртого уравнения.