Людям, которые очень хорошо знают алгебру. ЗНАТОКАМ АЛГЕБРЫ. Помоогите решить уравнение. x^4-2x^3-13x^2-2x+1=0

Решение. x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(x^2-5*x+1)*(x^2+3*x+1)=0; x1=0,209; x2=4,791; x3=-2,618; x4=-0,382.

x⁴ - 2x³ - 13x² - 2x + 1 = 0
Это уравнение возвратное, решается оно, деля обе части на x²
x⁴ - 2x³ - 13x² - 2x + 1 = 0 / x²
x⁴/x² - 2x³/x² - 13x²/x² - 2x/x² + 1/x² = 0
x² - 2x - 13 - 2/x + 1/x² = 0
(x² + 1/x²) - 2(x + 1/x) - 13 = 0

1) Пусть y = x + 1/x, тогда x² + 1/x² = y² - 2
Можешь сам проверить: если это мы возведём в квадрат (x + 1/x)² и вычтем двойку, то получим x² + 1/x², то что нам и надо.
y² - 2 - 2y - 13 = 0
y² - 2y - 15 = 0
D = 4 - 4*1*(-15) = 64
y₁ = (2 + 8) / 2 = 5
y₂ = (2 - 8) / 2 = -3

2) Вернёмся к нашей замене:
x + 1/x = 5
x² - 5x + 1 = 0
D = 25 - 4 = 21
x₁ = (5 + √21) / 2
x₂ = (5 - √21) / 2

x + 1/x = -3
x² + 3x + 1 = 0
D = 9 - 4 = 5
x₁ = (-3 + √5) / 2
x₂ = (-3 - √5) / 2

Ответ:
x₁ = (5 + √21) / 2
x₂ = (5 - √21) / 2
x₃ = (-3 + √5) / 2
x₄ = (-3 - √5) / 2

Поделив это уравнение на х^2, можно получить

х^2+1/х^2-2*(х+1/х) -13=0.

Вводя новую переменную у=х+1/х и учитывая что у^2=х^2+2+1/х^2, можно получить

у^2-2-2у-13=0.

Решая это уравнение можно получить у1=5 и у2=-3.

Тогда получим 5=х+1/х или х^2-5х+1=0. Отсюда х1=(5+корень_21)/2; х2=(5-корень_21)/2.

Соответственно -3=х+1/х или х^2+3х+1=0. Отсюда х3=(-3+корень_5)/2; х4=(-3-корень_5)/2.