РЕшите x^4- 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0

возвратное уравнение, разделим обе части на x²:
x²-5x+8-5/x+1/x²=0
введем замену:
x+1/x=t, |t|≥2 => x²+1/x²=t²-2
относительно новой замены неравенство перепишем в виде:
t²-2-5t+8=0
t²-5t+6=0
(t-3)(t-2)=0
t=3, t=2
возвращаемся к исходной переменной, получим два уравнения относительно х:
x+1/x=3
x²-3x+1=0
x=(3±√5)/2

x+1/x=2 => x=1
Ответ: (3±√5)/2, 1.

Решение:
x^4- 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0
Выражение x^4- 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 разделим столбиком на х-1 и получим результат: x^3 -4x^2+4x-1
Полученный результат x^3 -4x^2+4x-1 опять делим столбиком на х-1 и получим результат: x^2-3x+1
Значит, левую часть уравнения x^4- 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0 разлагаем на множители:
(х-1)^2 * ( x^2-3x+1) =0
Откуда х=1 или x^2-3x+1=0
Решаем второе уравнение x^2-3x+1=0, Находим дискриминант: D=b^2-4ac= 3^2-4*1*1=9-4=5 >0
Находим второй и третий корень: х= (3- под корнем 5) /2 ; х= (3+ под корнем 5) /2
Ответ: 1; (3- под корнем 5) /2 ; (3+ под корнем 5) /2 .

x^4- 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0
(x^4- x^3)-(4x³ - 4x^2)+(4x² - 4x)-(x-1) = 0
x³•(x-1)-4x²•(x-1)+4x•(x-1)-(x-1) = 0
(x-1)•(x³-4x²+4x-1)=0
(x-1)•((x³-1)-4x•(x-1))=0
(x-1)•(x-1)•(x²+x+1-4x)=0
(x-1)•(x-1)•(x²-3x+1)=0
x1=1; x=3/2±√(9/4-1)=3/2±√5/2;

Ответ: x1=1; x2=(3+√5)/2; x2=(3-√5)/2.

такие уравнения наз СИММЕТРИЧ: ЕСКИМИ!! ! видите относительно x^2- всекоэффиценты симметричны- существует общий метод решения таких уравнений,
1) все члены делят на x^2, кот не равно 0
получим x^2-5x+8-5/x+1/x^2=0
2) группируют члены с x^2 и с x
(x^2+1/x^2)-5(x+1/x)+8=0
3) делают замену
x+1/x=t
x^2+2+1/x^2=t^2
x^2+1/x^2-t^2-2
t^2-2-5t+8=0
t^2+5t+6=0
t1=2 t2=3
X+1/x=2
x^2-2x+1=0(x-1)^2=0
x=1
X+1/x=3
X^2-3x+1=0
X=(3+- 5^1/2)/2
ЭТО ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТАКИХ ЗАДАЧ- предыдущее решение подходит не для всех примеров- бывает, что в таких задачах все x с радикалами, тогда предыдущее решение не применимо!! !