как найти высоту проведенную к гипотенузе (катеты равны 9 см и 12)

А квадратные уравнения решать умеем? Ну тогда слушай - находим гипотинузу. Квадрат гитатинузы равен сумме квадратов катетов. Получается 15 см. Высота это линия из прямого угла пересекающая гипотинузу под прямым углом. Рисуем ее. Получается два смежных прямоугольных треугольника: первый - гипотенуза 9 см, один катет наша высота- назавем ее Х, второй катет - часть гипотенузы нашего самого первого треугольника, назавем его У; и второй треугольник - его гипотенуза 12, один катет опять наша высота Х, второй - оставшаяся часть гипотенузы исходного треугольника. она будет 15-У см. Теперь составим уравнения для этих треугольников :
Х (квадрат) +У (квадрат) = 81 (9 в квадрате) - это для первого треугольника
Х (квадрат) +(15-У) (квадрат) = 144 (12 в квадрате) - это для второго треугольника.
Все. Осталось найти Х. Это и будет наша высота. Как решить знаешь?

Найди гипотенузу, дальше по углам синусы всякие

найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
=корень квадр (81+144)=15
теперь найдем sin (например нижнего угла, который прилежит к катету=9 см)
sin=отношению противолежащего катета к гипотенузе= 12/15=4/5
теперь рассмотрим треугольник, образованный высотой, проведенной к гипотенузе, маленьким катетом и кусочком гипотенузы:
в нем маленький (=9см) катет будет гипотенузой, тогда отношение его к высоте=SIN нижнего угла, который у нас = 4/5
х/9=4/5
х=9*4/5
х=36/5=7,5