1. Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела?

1)В воздухе вес тела равен P1=mg, в воде же вес тела равен P2=mg-p1gv, так как в воде на тело действует дополнительно сила Архимеда, равная F=pgv1 (где p - плотность жидклсти (в данном случае воды) , v - объем тела, погруженного в жидкость) . По условию,
P1/P2=3
mg/(mg-p1gv)=3
m/(m-p1v)=3, т. к. масса тела равна произведению его плотности и объема, т. е. m=p2*v,т. е.
p2*v/(p2*v-p1v)=3
p2/(p2-p1)=3
p2=3*p2-3*p1
2p2=3p1
p2=(3/2)p1=(3/2)*1000=1500 кг\м3
4) в 81 раз меньше будет.. скорость свободного падения тела там меньше
5) Момент инерции шара относительно центра равен (2/5)mr², относительно точки касания (о теореме Гюйгенса-Штейнера) (7/5)mr² (m — масса шара/цилиндра, r — радиус) .

Момент инерции цилиндра относительно центра равен (½)mr², относительно точки касания (3/2)mr²

Согласно основному закону динамики вращения,
M = J ε,
где M — момент силы вращения, J — момент инерции относительно оси вращения, ε — угловое ускорение

Запишем это уравнение для точки касания. На шар действуют три силы: сила тяжести, сила трения и сила реакции опоры. Момент последних двух сил относительно точки касаня равен 0, поскольку они приложены в точке касания и плечо силы равно нулю.

Если угол наклона плоскости равен α, то
M = mg*(r/2*sinα);
тогда ε = M/J

Угловый ускорения шара и цилиндра равны соответственно
ε_ш = (mgrsinα/2)/((7/5)mr²) = (5/14) g sinα/r
ε_ц = (mgrsinα/2)/((3/2)mr²) = (1/3) g sinα/r

Если считать, что радиусы цилиндра и шара равны, то
ε_ш/ε_ц = 15/14

Время скатывания обрано пропорционально квадратному корню из углового ускорения, поэтому отношение времени скатывания шара к аналогичному времени цилиндра равно
1/√(ε_ш/ε_ц) = √(14/15)

ОТВЕТ: если радиусы шара и цилиндра равны, то шар скатится быстрее в √(15/14) = 1,035 раза. Как видно, разница очень несущественна (около 3,5%).