Y=(ctg(arccos(x)) Помогите наити производную!

у'=-1/sin^2(arccosx)*(-1/корень из (1-x^2)=1/(sin^2(arccosx)*корень из (1-x^2))

Из свойств тригоном. функций:

cos(arccos x)=x, y=ctg(arccos x)=x/koren(1-x^2),

Поэтому: y'=1/koren(1-x^2)+x^2/(1-x^2)^(3/2).

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

I. Взаимно обратные функции:

О: Две функции f и g называются взаимно обратными, если равенство y = f(x) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g(y).

Свойства:

1. f(g(y)) = y или g(f(x)) = x

2. D(f) =E(g) и E(f) = D(g)

3. если f возрастает, то и g возрастает

если f убывает, то и g убывает

4. Графики симметричны относительно

прямой y = x

5. Свойство производной: g'(x) = 1/ f '(g(x))

II. Обратные тригонометрические функции:

Рассмотрим функцию y = sin x

на промежутке [-p /2; p /2]

Тогда существует обратная:

y = arcsin x

Рассмотрим функцию y = cos x

на промежутке [ 0; p ]

Тогда существует обратная:

y = arccos x

Рассмотрим функцию y = tg x

на промежутке [-p /2; p /2]

Тогда существует обратная:

y = arctg x

Рассмотрим функцию y = ctg x

на промежутке [ 0; p ]

Тогда существует обратная:

y = arcctg x

III Формулы

arcsin(-x) = - arcsin x

arccos(-x) = p - arccos x

arctg(-x) = - arctg x

arcctg(-x) = p - arcctg x

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x

tg(arctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

sin(arccos x) = Ö 1 - x2

cos(arcsin x) = Ö 1 - x2

cos(arctg x) = 1/Ö 1+ x2

sin(arctg x) = x /Ö 1+ x2

tg(arcsin x) = x /Ö 1- x2

arcsin x + arccos x = p /2

arctg x + arcctg x = p / 2

tg(arcctg x) = ctg(arctg x) = 1/ x

IV. Производные обратных триг. ф-ий:

Пример: Найти производную функции:

y = arctg x3

Решение: y' = (arctg x3)' = 3x2* 1/(1+ x6 )

= 3x2/(1+ x6 )

arcsin' x = 1 /Ö 1- x2

arccos' x = -1 /Ö 1- x2

arctg' x = 1/(1+ x2)

arcctg' x = -1/(1+ x2)

Яндекс. Видео