помогите решать спасибо в зависимости от a определить количество корней уравнения x^3+6x^2-15x+3a=0

рассматриваем 2 функции

первая:
у=x^3+6x^2-15x
ее график на картинке
https://www.desmos.com/calculator/onkdh7xzyr

вторая: у=С, где С- число.

ищем пересечения графиков.
1) три пересечения, если С больше минимума и меньше максимума
2) два пересечения, если С равно минимуму или максимуму
3) один, если С больше максимума, или же меньше минимума
____________

найдем маскмиум и минимум:
производная =3x^2+6*2x-15
приравняем к нулю 3x^2+6*2x-15=0
x^2+2*2x-5=0
х1=1
х2=-5

у (х1)=1^3+6*1^2-15=1+6-15=-8
у (х2)=(-5)^3+6*(-5)^2-15*(-5)=-125+150+75=100

________

При С=-8; 100 два решения.
При -8<С<100 три решения
при С>100 или C<-8 одно решение

С=-3а
___
При а=8/3; -100/3 два решения.
При -100/3<а<8/3 три решения
при а>8/3 или C<-100/3 одно решение

Если для ВУЗа - то кол-во корней при любом параметре равно 3 (иногда и может считать что возможно 1 или 2, если кратные считаются одним корнем).
Если для школы - возможно 5 случаев, сводящихся в результате к 3.
Чёрт бы вас всех, школьников, побрал, когда ж вы хотя бы задания полно писать станете.
По коэф-ам полинома сразу видно, что ф-ия в целом возрастает, проходя при отрицательном х макс, при положительном - мин. От параметра, собственно, зависит только вертикальный сдвиг графика. Поэтому проще всего просто проанализировать состояние экстремумов.
Так у нас вытанцовываются такие варианты, рассмотрю их в порядке возрастания свободного члена 3а:
а) максимум отрицателен, 1 корень (при полож. икс)
б) максимум = 0, тогда 2 корня (сдвоенный слева, один справа)
в) макс положителен, мин отрицателен - 3 корня.
г) мин = 0, будет 2 корня (слева один, сдвоенный справа)
д) мин положительный - 1 корень слева.
Значит, просто смотрим знаки экстремумов.

Вначале экстремумы:
y' = 3x^2 + 12x -15 = 0
D = 144 + 4*3*15 = 324
x1 = -5 (максимум)
x2 = 1 (минимум)
От а, естественно, аргументы экстремумов не зависят. но зависят значения.
ymax = -125 + 150 + 75 +3a = 100 + 3a
ymin = 1 + 6 -15 +3a = -8 +3a
(видим, что мин всегда меньше макс)
a) ymax < 0
a< -100/3
б) a = -100/3
в) ymax>0 и ymin<0
100+3a > 0 и -8+3a<0
a> -100/3 и a<8/3
г) a = 8/3
д) a> 8/3
Так у нас получаются 5 последовательных вариантов для a:
а) a<-100/3, график внизу, 1 корень (положительный)
б) a=-100/3, график касается горизонтали максимумом, 2 корня
в) -100/3 < a < 8/3 оба горба пересекают ОХ, 3 корня
г) a=8/3, минимум касается ОХ, 2 корня
д) a> 8/3, график поднялся вверх, корень 1, слева.