Решите, пожалуйста, задачу по геометрии, а? у меня мозги думать абсолютно не хотят

В этой задаче важно суметь правильно нарисовать чертёж. У меня он получился вот таким (с учётом всех данных условия: BD – биссектриса, зелёная, AE – медиана, красная, отрезки BD и AE перпендикулярны и равны).

Я постараюсь привести решение задачи лишь в рамках 8 класса, без использований тригонометрических формул.
1.Для начала общие рассуждения. У меня на чертеже получилось, что отрезки AB и BE. Это неслучайно. Действительно, очевидно, что BD является биссектрисой и для треугольника ABE, она же является высотой (по условию BD перпендикулярно AE). Значит треугольник ABE – равнобедренный. И кроме того, BO – биссектриса-высота треугольника ABE является ещё его медианой, т. е. AO = OE. Получены первые важные соотношения.
2.Для простоты обозначим BD = AE (по условию) = x, AB = BE (по доказанному) = a (a неизвестно, x предполагается известным). Поскольку AE – медиана, то BC = 2BE = 2a. И кроме того, т. к. AO = OE, то AO = AE = x/2.
3.Далее вспоминаем золотое правило биссектрисы, которая делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. В данном случае AD:DC = AB:BC = a/2a = 1:2. Обозначим AB = y, а тогда DC = 2y и AC = 3y.
4.Вспоминаем теорему. Если два треугольника имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, содержащие равные углы (это следует из формулы для площади треугольника, равной полупроизведению сторон на синус угла между ними). В данном случае по равному общему углу С имеют треугольники ABC и DEC, а потому S(ABC):S(DEC) = (AC*BC):(DC*EC) = (3y*2a):(2y*a) = 3, т. е. S(ABC) = 3*S(DEC) – площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника DEC.
5.Площадь оставшегося четырёхугольника ABED очевидно составляет 2/3 от площади треугольника ABC. С другой стороны этот четырёхугольник разбивается на два равных треугольника ABD и BDE (по общей стороне BD, AB = BE и равному углу между ними, т. к. BD – биссектриса). Значит площади всех трёх треугольников: ABD. BDE и DEC равны между собой и, в частности, S(ABC) = 3*S(ABD)
6.С другой стороны площадь треугольника ABD равна полупроизведению основания BD на высоту AO: S(ABD) = (1/2)*BD*AO = (1/2)x*x/2 = x^2/4.
7.Согласно пунктам 5 и 6 S(ABC) = 3x^2/4.
8.Дальше используем важное свойство медианы: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т. е. площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC:
S(ABE) = (1/2)*S(ABC) = (1/2)*3x^2/4 = 3x^2/8.
9.С другой стороны эта же площадь равна полупроизведению стороны AE = x на высоту BO, которую мы обозначим h:
S(ABE) = (1/2)*xh
10.Согласно пунктам 8 и 9 3x^2/8 = (1/2)xh, откуда, умножая на 2 и сокращая на x: h = 3x/4.
11.По теореме Пифагора: BE^2 = OE^2 + BO^2, т. е. a^2 = (x/2)^2 + (3x/4)^2 = x^2/4 + 9x^2/16 = 4x^2/16 + 9x^2/16 = 13x^12/16. Откуда a = x*K(13)/4. K(13) – это корень из 13. Итак, мы выразили a через x. Нетрудно теперь найти две стороны треугольника ABC: AB = a = x*K(13)/4, BC = 2a = x*K(13)/2
12.Чтобы найти AC, найдём AD = y. Обозначим z = OD = BD – BO = x – h = x – 3x/4 = x/4. По теореме Пифагора:
AD^2 = AO^2 + OD^2, т. е. y^2 = (x/2)^2 + (x/4)^2 = x^2/4 + x^2/16 = 4x^2/16 + x^2/16 = 5x^2/16, откуда y = x*К (5)/4. А тогда AC = 3y = 3x*K(5)/4. Задача решена. Стороны найдены. Всё сошлось. Ура!

Ну а строится такой треугольник элементарно. На данном отрезке BD берётся точка O, делящая BD в отношении 3:1 считая от B. Через неё проводится AE, равный и перпендикулярный BD так, что O - середина AE. BE и AD продлеваются до пересечения в точке C. ABC - нужный треугольник.