Домашние задания: Другие предметы
Геометрия (решение тяжёлой, вычислительной задачи)
Сколько различных равносторонних треугольников можно найти в кубической решетке 100х100х100?
Не знаю возможно учитель режиссер фильмов пил
Для начальных значений я проверил.
Получились результаты:
2x2x2 — 8
3x3x3 — 80
4x4x4 — 368
5x5x5 — 1264
6x6x6 — 3448
7x7x7 — 7792
Далее не стал заморачиваться, ибо время расчёта растёт экспоненциально.
Для 2х2х2 вот такие координаты:
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,0,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,0)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,0)
Как видно, нет одинаковых координат.
Для 3х3х3:
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(0,2,2)-(2,0,2)
(0,0,0)-(0,2,2)-(2,2,0)
(0,0,0)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(2,0,2)-(2,2,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,0,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(0,1,2)-(1,0,2)
(0,0,1)-(0,1,2)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,2)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,2,0)-(2,1,2)
(0,0,1)-(1,2,2)-(2,1,0)
(0,0,2)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,2)-(0,1,1)-(1,1,2)
(0,0,2)-(0,2,0)-(2,0,0)
(0,0,2)-(0,2,0)-(2,2,2)
(0,0,2)-(1,0,1)-(1,1,2)
(0,0,2)-(2,0,0)-(2,2,2)
(0,1,0)-(0,2,1)-(1,1,1)
(0,1,0)-(0,2,1)-(1,2,0)
(0,1,0)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,0)-(1,0,2)-(2,2,1)
(0,1,0)-(1,1,1)-(1,2,0)
(0,1,0)-(1,2,2)-(2,0,1)
(0,1,1)-(0,2,0)-(1,1,0)
(0,1,1)-(0,2,0)-(1,2,1)
(0,1,1)-(0,2,2)-(1,1,2)
(0,1,1)-(0,2,2)-(1,2,1)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,2)
(0,1,1)-(1,1,0)-(1,2,1)
(0,1,1)-(1,1,2)-(1,2,1)
(0,1,2)-(0,2,1)-(1,1,1)
(0,1,2)-(0,2,1)-(1,2,2)
(0,1,2)-(1,0,0)-(2,2,1)
(0,1,2)-(1,0,2)-(1,1,1)
(0,1,2)-(1,1,1)-(1,2,2)
(0,1,2)-(1,2,0)-(2,0,1)
(0,2,0)-(1,1,0)-(1,2,1)
(0,2,0)-(2,0,0)-(2,2,2)
(0,2,1)-(1,0,0)-(2,1,2)
(0,2,1)-(1,0,2)-(2,1,0)
(0,2,1)-(1,1,1)-(1,2,0)
(0,2,1)-(1,1,1)-(1,2,2)
(0,2,2)-(1,1,2)-(1,2,1)
(0,2,2)-(2,0,2)-(2,2,0)
(1,0,0)-(1,1,1)-(2,0,1)
(1,0,0)-(1,1,1)-(2,1,0)
(1,0,0)-(2,0,1)-(2,1,0)
(1,0,1)-(1,1,0)-(2,0,0)
(1,0,1)-(1,1,0)-(2,1,1)
(1,0,1)-(1,1,2)-(2,0,2)
(1,0,1)-(1,1,2)-(2,1,1)
(1,0,1)-(2,0,0)-(2,1,1)
(1,0,1)-(2,0,2)-(2,1,1)
(1,0,2)-(1,1,1)-(2,0,1)
(1,0,2)-(1,1,1)-(2,1,2)
(1,0,2)-(2,0,1)-(2,1,2)
(1,1,0)-(1,2,1)-(2,1,1)
(1,1,0)-(1,2,1)-(2,2,0)
(1,1,0)-(2,0,0)-(2,1,1)
(1,1,0)-(2,1,1)-(2,2,0)
(1,1,1)-(1,2,0)-(2,1,0)
(1,1,1)-(1,2,0)-(2,2,1)
(1,1,1)-(1,2,2)-(2,1,2)
(1,1,1)-(1,2,2)-(2,2,1)
(1,1,1)-(2,0,1)-(2,1,0)
(1,1,1)-(2,0,1)-(2,1,2)
(1,1,1)-(2,1,0)-(2,2,1)
(1,1,1)-(2,1,2)-(2,2,1)
(1,1,2)-(1,2,1)-(2,1,1)
(1,1,2)-(1,2,1)-(2,2,2)
(1,1,2)-(2,0,2)-(2,1,1)
(1,1,2)-(2,1,1)-(2,2,2)
(1,2,0)-(2,1,0)-(2,2,1)
(1,2,1)-(2,1,1)-(2,2,0)
(1,2,1)-(2,1,1)-(2,2,2)
(1,2,2)-(2,1,2)-(2,2,1)
P.S. С результатом предыдущего отвечающего не сходится…
Получились результаты:
2x2x2 — 8
3x3x3 — 80
4x4x4 — 368
5x5x5 — 1264
6x6x6 — 3448
7x7x7 — 7792
Далее не стал заморачиваться, ибо время расчёта растёт экспоненциально.
Для 2х2х2 вот такие координаты:
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,0,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,0)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,0)
Как видно, нет одинаковых координат.
Для 3х3х3:
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,0)-(0,1,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(0,2,2)-(2,0,2)
(0,0,0)-(0,2,2)-(2,2,0)
(0,0,0)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,0,0)-(2,0,2)-(2,2,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,0,0)
(0,0,1)-(0,1,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(0,1,2)-(1,0,2)
(0,0,1)-(0,1,2)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,0,2)-(1,1,1)
(0,0,1)-(1,2,0)-(2,1,2)
(0,0,1)-(1,2,2)-(2,1,0)
(0,0,2)-(0,1,1)-(1,0,1)
(0,0,2)-(0,1,1)-(1,1,2)
(0,0,2)-(0,2,0)-(2,0,0)
(0,0,2)-(0,2,0)-(2,2,2)
(0,0,2)-(1,0,1)-(1,1,2)
(0,0,2)-(2,0,0)-(2,2,2)
(0,1,0)-(0,2,1)-(1,1,1)
(0,1,0)-(0,2,1)-(1,2,0)
(0,1,0)-(1,0,0)-(1,1,1)
(0,1,0)-(1,0,2)-(2,2,1)
(0,1,0)-(1,1,1)-(1,2,0)
(0,1,0)-(1,2,2)-(2,0,1)
(0,1,1)-(0,2,0)-(1,1,0)
(0,1,1)-(0,2,0)-(1,2,1)
(0,1,1)-(0,2,2)-(1,1,2)
(0,1,1)-(0,2,2)-(1,2,1)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,0)
(0,1,1)-(1,0,1)-(1,1,2)
(0,1,1)-(1,1,0)-(1,2,1)
(0,1,1)-(1,1,2)-(1,2,1)
(0,1,2)-(0,2,1)-(1,1,1)
(0,1,2)-(0,2,1)-(1,2,2)
(0,1,2)-(1,0,0)-(2,2,1)
(0,1,2)-(1,0,2)-(1,1,1)
(0,1,2)-(1,1,1)-(1,2,2)
(0,1,2)-(1,2,0)-(2,0,1)
(0,2,0)-(1,1,0)-(1,2,1)
(0,2,0)-(2,0,0)-(2,2,2)
(0,2,1)-(1,0,0)-(2,1,2)
(0,2,1)-(1,0,2)-(2,1,0)
(0,2,1)-(1,1,1)-(1,2,0)
(0,2,1)-(1,1,1)-(1,2,2)
(0,2,2)-(1,1,2)-(1,2,1)
(0,2,2)-(2,0,2)-(2,2,0)
(1,0,0)-(1,1,1)-(2,0,1)
(1,0,0)-(1,1,1)-(2,1,0)
(1,0,0)-(2,0,1)-(2,1,0)
(1,0,1)-(1,1,0)-(2,0,0)
(1,0,1)-(1,1,0)-(2,1,1)
(1,0,1)-(1,1,2)-(2,0,2)
(1,0,1)-(1,1,2)-(2,1,1)
(1,0,1)-(2,0,0)-(2,1,1)
(1,0,1)-(2,0,2)-(2,1,1)
(1,0,2)-(1,1,1)-(2,0,1)
(1,0,2)-(1,1,1)-(2,1,2)
(1,0,2)-(2,0,1)-(2,1,2)
(1,1,0)-(1,2,1)-(2,1,1)
(1,1,0)-(1,2,1)-(2,2,0)
(1,1,0)-(2,0,0)-(2,1,1)
(1,1,0)-(2,1,1)-(2,2,0)
(1,1,1)-(1,2,0)-(2,1,0)
(1,1,1)-(1,2,0)-(2,2,1)
(1,1,1)-(1,2,2)-(2,1,2)
(1,1,1)-(1,2,2)-(2,2,1)
(1,1,1)-(2,0,1)-(2,1,0)
(1,1,1)-(2,0,1)-(2,1,2)
(1,1,1)-(2,1,0)-(2,2,1)
(1,1,1)-(2,1,2)-(2,2,1)
(1,1,2)-(1,2,1)-(2,1,1)
(1,1,2)-(1,2,1)-(2,2,2)
(1,1,2)-(2,0,2)-(2,1,1)
(1,1,2)-(2,1,1)-(2,2,2)
(1,2,0)-(2,1,0)-(2,2,1)
(1,2,1)-(2,1,1)-(2,2,0)
(1,2,1)-(2,1,1)-(2,2,2)
(1,2,2)-(2,1,2)-(2,2,1)
P.S. С результатом предыдущего отвечающего не сходится…
Галина Дуль
63 135
Наталья Лесенкова
Для куба 3х3 имеем 72 трка, образованные вершинами подкубов. Остальные 8 это середины ребер (например (0,1,0), (1,0,2), (2,2,1)). Вопрос в том, как задать эти остальные, не учтенные в том ответе
Катя Лойко
Я, напротив, сознаю, что являюсь глупее всех, потому что надеюсь от кого-нибудь на адекватную реакцию, но увы, мои надежды не оправдываются. Задача вполне серьёзная и интересная, однако люди с примитивным воображением просто посчитали в штуках только то, на что они способны.
Что ж, будем ждать ещё десятилетия, пока вымрут сегодняшние мыслители и родятся новые. Каждый выбирает то, за что не надо платить высокую цену. Ждём-с.
Что ж, будем ждать ещё десятилетия, пока вымрут сегодняшние мыслители и родятся новые. Каждый выбирает то, за что не надо платить высокую цену. Ждём-с.
Если сторона равностороннего треугольника равна 100, то можно найти 231 треугольник, а так бесконечное множество ...
Катя Лойко
Если сторона равностороннего треугольника равна 100, то можно найти только 1 такой треугольник. Если такой треугольник разбит треугольной сеткой с ребром 1,
то можно получить только 100 различный треугольников
то можно получить только 100 различный треугольников
Наталья Лесенкова
Бесконечное множество? Чушь не порите
Катя Лойко
Эмилия, хотелось бы получить координаты хотя бы одного равностороннего треугольника, кроме тех треугольников, вершины которых лежат в узлах на 3х сторонах куба на РАВНОМ удалении от одной и той же вершины куба. Или, другими словами, хоть один треугольник, плоскость которого не перпендикулярна главной диагонали куба.
Куб - 3д
Треугольник - 2д
Треугольник - 2д
На одном минимальном кубике 1х1х1 можно найти 8 равносторонних треугольников, вершины которых лежат на узлах кубической решётки. но в задаче спрашивается о количестве разных, а разных равносторонних треугольников здесь только один, со стороной √2.
На одном максимальном кубике 100х100х100 разных равносторонних треугольников тоже только один, со стороной 100*√2. На одном промежуточном кубике NxNxN, где N=2...99, разных равносторонних треугольников тоже только один, со стороной N*√2.
Итого ответ задачи: 100 разных равносторонних треугольников.
Замечание: Если на кубической решётке 100х100х100 выделить одну из 8 вершин и от неё отложить вдоль каждого из трёх исходящих ребра куба куба по отрезку длиной N, где N целое, то получим три точки точно на узлах, это вершины равностороннего треугольника, и расстояния между каждой парой из этих 3-х точек одинаковы и равны N*√2. Отрезки проходят на поверхности куба под углом 45 градусов к ребру куба.
Если пытаться эти отрезки строить на поверхности куба по любым другим углом, то можно построить только два таких равных отрезка, а третий получится при соединении концов первых двух отрезков и он будет лежать под углом 45 градусов и будет короче первых двух. То есть требуемые равносторонние треугольники не могут быть построены иным способом, нежели указанным в ответе.
Другое дополнение к доказательству состоит в том, что если существует любой равносторонний треугольник, неучтённый в моём ответе, имеющий стороны длиной отличающейся от N√2, то тогда его можно надеть на одну из вершин куба так, что точки треугольника будут равноудалены от вершины, а отрезки будут лежать под углом 45 градусов к рёбрам. но тогда точки треугольника не попадут на узлы.
Задачу можно решить и алгебраическим путем, задав три точки в пространстве куба с целочисленными координатами, выраженными в приращениях относительно друг друга (причем приращения в сумме должны давать нуль по каждой координате).
Если приращения имеют разные иррациональности, то они в нуль не суммируются.
Можно доказать, что решение есть только для иррациональностей вида N√2, это проистекает из осевой симметрии куба при повороте на 120 градусов (что соответствует равностороннему треугольнику), а другой подобной симметрии куба или кубической решётки не существует.
Догадаться можно и потому, что узлы решетки заслоняют друг друга только в одном "косом" направлении проекции - при взгляде вдоль длинной главной диагонали куба.
На одном максимальном кубике 100х100х100 разных равносторонних треугольников тоже только один, со стороной 100*√2. На одном промежуточном кубике NxNxN, где N=2...99, разных равносторонних треугольников тоже только один, со стороной N*√2.
Итого ответ задачи: 100 разных равносторонних треугольников.
Замечание: Если на кубической решётке 100х100х100 выделить одну из 8 вершин и от неё отложить вдоль каждого из трёх исходящих ребра куба куба по отрезку длиной N, где N целое, то получим три точки точно на узлах, это вершины равностороннего треугольника, и расстояния между каждой парой из этих 3-х точек одинаковы и равны N*√2. Отрезки проходят на поверхности куба под углом 45 градусов к ребру куба.
Если пытаться эти отрезки строить на поверхности куба по любым другим углом, то можно построить только два таких равных отрезка, а третий получится при соединении концов первых двух отрезков и он будет лежать под углом 45 градусов и будет короче первых двух. То есть требуемые равносторонние треугольники не могут быть построены иным способом, нежели указанным в ответе.
Другое дополнение к доказательству состоит в том, что если существует любой равносторонний треугольник, неучтённый в моём ответе, имеющий стороны длиной отличающейся от N√2, то тогда его можно надеть на одну из вершин куба так, что точки треугольника будут равноудалены от вершины, а отрезки будут лежать под углом 45 градусов к рёбрам. но тогда точки треугольника не попадут на узлы.
Задачу можно решить и алгебраическим путем, задав три точки в пространстве куба с целочисленными координатами, выраженными в приращениях относительно друг друга (причем приращения в сумме должны давать нуль по каждой координате).
Если приращения имеют разные иррациональности, то они в нуль не суммируются.
Можно доказать, что решение есть только для иррациональностей вида N√2, это проистекает из осевой симметрии куба при повороте на 120 градусов (что соответствует равностороннему треугольнику), а другой подобной симметрии куба или кубической решётки не существует.
Догадаться можно и потому, что узлы решетки заслоняют друг друга только в одном "косом" направлении проекции - при взгляде вдоль длинной главной диагонали куба.
Александр Семенов
1 069
По моим подсчётам 204 020 000
умножаем количество кубов 1х1х1 25502500 (находим по формуле суммы кубов первых 100 чисел S=(n^2(n+1)^2)/4), потом умножаем на количество возможных равносторонних треугольников в каждом кубе 8
умножаем количество кубов 1х1х1 25502500 (находим по формуле суммы кубов первых 100 чисел S=(n^2(n+1)^2)/4), потом умножаем на количество возможных равносторонних треугольников в каждом кубе 8
Наталья Лесенкова
25502500 это число всех подкубов - я верно вас порял? А може, еще есть треугольники?
Александр Семенов
100 это для примера, упрощенно. на самом деле размер стороны треугольника равен N*√2, при целом N=1...100
Похожие вопросы
- Задачи по геометрии Как научиться решать задачи по геометрии?
- Геометрия. Решить не сложные задачи.
- Пожаалуйста кто нормально понимает геометрию помогите решить эти задачи!!Оч срочно!))
- Геометрия 10-11 3 задачи, ср трудность
- Какое решение у этой задачи:
- Нужны формулы решения задач (геометрия)( всех отблагодарю)
- Помогите с задачей по геометрии. Пожалуйстааа.
- Геометрия 8 класс, неясно как решать объективно не сложную задачу
- помогите с решением задачи по геометрии!!!
- Не могу решить младшей сестре задачу. Геометрия 8 класс
Любая попытка сместить вершину любого из этих тр-в вдоль ребра
на n=1...99 и даже на n=1...49 приводит к необх-ти выполнить то же по двум другим рёбрам.
Любая попытка сместить вершину любого из этих тр-в с ребра
на плоскость приводит к необх-ти выполнить то же для двух другим вершин.
Итого 100 штук.
Можно написать программу на VBA в Word или Excel, чтобы перебрать варианты. Скорость около 15 млн цикл/сек.
Но не вижу смысла. Основная идея в том, что длинная диагональ куба является осью 3-симметрии, и все плоскости, не перпенд-ные этой оси, проходящие через узлы имеют другие параметры иррациональности, не совпадающие с √2 относительно оси (или √3 отн-но граней куба) одновременно по трем вершинам.