Посоветуйте программу для автоматизации работы и рабочего времени сотрудников офиса, в тексте вопроса подробно распишу:

MS Project, MS Excell. В проджекте можно по диаграмме Ганта, таймлайну увидеть готовность. В Экселе-тоже самое, но там не так все просто, надо знать, как расписывать слова через формулы.

Таких программ очень много, есть универсальные, есть сделанные на заказ. От небольших до огромных систем для управления крупными предприятиями, стоимостью внедрения в миллионы рублей.

Из конкретного - попробуйте посмотреть в сторону таск-менеджеров. У многих из них предусмотрена возможность организации групповых задач. Я для личных целей использую todoist, довольно удобная штука, там что-то есть для рабочих групп, но я не смотрел. Но у этой системы сейчас проблемы с оплатой подписки из-за санкций, а без оплаты функционал ограничен. Есть аналоги, в т.ч. российские.
Есть решение от 1С - Битрикс24. Есть другие таск-менеджеры, нужно выбирать.

В нескольких своих проектах я пытался частично реализовать подобный функционал.
На мой взгляд, основная сложность при внедрении - организационная. Нужно, чтобы сотрудники очень хотели эту систему, иначе они будут саботировать разными способами. Т.к. им не очень-то нужна система тотального и полного контроля за ними )) И производственный цикл должен быть подстроен под автоматизацию.

Второй момент - кто будет вносить задачи. Чем сложнее учет и функционал, тем больше информации нужно вбить в систему, это дополнительная работа и время. Иногда маршрутный бумажный лист работает лучше, чем АИС.

Еще сложность - чем подробнее планируется создавать списки работ, чем полнее нужна статистика и дополнительные функции - тем сложнее их составлять. Частично проблема решается созданием шаблонов проектов, но это хоть и универсальное, но не очень эффективное решение. А эффективные (где план строится автоматически, исходя из начальных условий, например, проекта) - всегда будут специализированным ПО, разработку которого не каждый может себе позволить.

И последнее - прежде чем искать - составьте нормальный список требований. То, что вы написали - недостаточно для выбора. Нужно оценить объемы данных, сколько пользователей, архитектуру системы - будет ли это в локальной сети или нужен удаленный доступ, как система должна работать при проблемах со связью, нужно ли делать распределенную систему, как и что должно отображаться, на какие платформы и операционные системы, какие требования к защищенности, полный список функциональных требований, отчеты и статистика, необходимость интеграции с существующими системами, требования к быстродействию, надежности и т.д., перенос данных,..

Если все это слишком сложно или нет возможности привлечь специалиста для консультации - ну, тогда вот эти онлайн сервисы или эксель или гугл-таблицы или вообще сделать "физически" с помощью доски и мела или бумажных листов.

"для автоматизации работы и рабочего времени"
"сотрудник пишет для начальника отдела задачи и цели работы на день, неделю и передает руководству, а затем отчитывается - какая задач и насколько выполнена"

Я думаю, начальство не понимает чего оно хочет.. или не понимает как правильно это реализовать..
Или начальник отдела не понимает что от него хочет руководство, и поэтому он хочет свою работу свалить на сотрудников, чтобы они цели себе рисовали..
Предлагаю начальству задаться вопросом - что начальство хочет и зачем?
Мне кажется, что начальство вовсе не хочет знать о целях работников на день/неделю, а хочет видеть как продвигается реализация какого либо проекта, и понимать сколько требуется времени на его реализацию.. А так же хочет понимать, требуется ли нанять дополнительных сотрудников или нет.

Совет - наймите менеджера проекта. Думаю в первую очередь вам нужен он, а не информация о целях сотрудников.
....
Советую Jira
или Yandex Tracker https://tracker.yandex.ru