Кот нашёл дохлую птицу и начал играть

Про приметы забудьте. Такой приметы (типа "кот птицу притащил") нет и никогда не было.
Есть простая всем известная примета: "Если в дом своим ходом ЗАЛЕТАЕТ ЖИВАЯ птица, машет крыльями, летает по дому и т. п. - то это не к добру... "
Речь идёт о ЖИВОЙ птице, которая САМА прилетела.

К Вашей ситуации это вообще не имеет никакого отношения. Приметы не "расширяются", они описывают конкретные ситуации. У Вас - не такая ситуация.

Равным образом Ваши сны ничего плохого не означают. Вы же знаете, наверное, что если снятся, например, похороны какого-то знакомого человека - то это означает, что этот человек будет жить ещё долго. Так что ничего плохого не ждите.

Из случившейся у Вас ситуации с котом есть только 2 вывода:

1) коту надо сделать все необходимые прививки (если ещё не сделали); отвезите его к ветеринару и проконсультируйтесь: какие имено делать и в каком порядке; пред прививками надо дать прописанное ветеринаром глистогонное (его дают первый раз, затем через 14 дней дают второй раз; и затем через 1-2 недели делают прививки).

2) кота не надо выпускать на улицу. На улице есть:
- голодные злые собаки, разрывающие кошек;
- больные люди, убивающие, забивающие, сжигающие кошек ради забавы (загляните в ютуб);
- опасные болезни (нехорошие даже для привитых кошек);
- и наконец лишай, от которого прививок нет :-)

Домашним кошкам и котам нельзя выходить на улицу, там для них опасно.
(кстати, на окна поставьте сетки, так спокойнее...)

Лучше отобрать, чтоб не съел. У птицы наверняка есть глисты. Оно надо?
А суеверия выкиньте из головы. Ерунда всё это.

А кот в квартире живёт или он уличный?

кот мог заразиться бешенством и птичим гриппом, а насчет к чему это.... хз