Что нужно будет проверить и какие вопросы задать заводчику при покупке котёнка?

Проверить в первую очередь нужно наличие и подлинностью документов о происхождении котенка. Ветпаспорт с отметками о вакцинации и обработке от блох/глистов.
Возраст передачи в новую семью не должен быть меньше 3,5 месяцев. Котей должен быть двукратно вакцинирован от вирусных заболеваний. Если котенок "на подушку" передается уже кастрированным, заводчику баальшой такой жирный плюс.
При визите к заводчику, Вы никак не проверите темперамент котенка. В домашней обстановке и в присутствии чужих поведение котея может отличаться диаметрально.
А вот если Вы ищите котенка в брид, то там все гораздо сложнее. Много нюансов, которых вот так сразу и не перечислишь.

До визита изучаете отзывы о заводчике/питомнике, в т. ч. на породных форумах, историю, выпускников смотрите. Изучаете, как выглядит подлинная метрика. У заводчика в первую очередь проверяете документы котенка - метрика (обязательно оригинал, а не копия), вет. паспорт.. Должны быть отметки о двух прививках, гельментизации. Осматриваете котенка - что сам и попка чистые, глаза не текут, блохи не скачут, котята живут не в клетках.. Спрашиваете, к какому именно наполнителю котенок приучен, каким кормом питается, сколько раз в день и т. д. (многие заводчики дают к котенку корм и наполнителя немного на 1-2 раза, пока не купите). Это все можно так же выяснить по телефону до визита и подготовиться. Также обычно заключается договор между заводчиком и покупателем, где описаны все права и обязанности сторон, сумма, полученная за котенка и т. д. в двух экземплярах (может пригодиться, если потом возникнут какие-то споры).. Ну и любые другие интересующие вопросы уточняете. Темперамент отчасти зависит от самой породы, котята могут быть и очень активны (это нормально в таком возрасте), но повзрослев порода свое возьмет, остепенятся, а кто-то до старости котятами по характеру будут. Единственное - можете проверить социализированность котят. Они должны спокойно реагировать на людей, не шарахаться от рук, не шипеть и т. п.

Проверить клуб/питомник в котором состоит заводчик. Почитать о нем отзывы, посмотреть выпускников этого клуба. Далее посмотреть как живут кошки и котята, у ответственного заводчика чисто, нет никакого запаха, животные чистые ухоженные.

вопрос первый - "это точно котенок?"

если он в возрасте 1 - 1.5 месяцев и очень активный, то спокойным и тихим не будет.
А на счет "как выбрать" - прививки, паспорт, паспорт крови (если редкая порода). И обязательно посмотрите его родителей, погладьте, послушайте, как мурлыкают (оба). Это важно.

Вопросы задайте про прививки, про корм, про родителей.
Определить можно от части, если котенок спокойный, то сорванцом он не вырастет. Хотя есть и исключения