Котёнок вялый и не ест самостоятельно

а клещ не думали, умрет, сейчас запросто

Диагноз-то какой?

Обследовать. 1) температуру измерить. При инфекции она повышена, при кишечной непроходимости понижена. В обоих случаях вялость. По описанию то, что нос забит говорит об инфекции, а то, что над мисками сидит, похоже на кишечную непроходимость или болезнь желудка. При пониженной температуре слизистые бледные, при повышенной красные. Если повышена температура, синулокс продолжайте, а анандин замените на более сильное противовирусное. 2) следить как в туалет ходит, есть ли понос или запор, вспомнить когда вообще какал в последний раз. Если не помните, предложите молоко, при запорах кошек тянет молоко пить. 3) анализы крови и УЗИ брюшной полости в клинике. И если котенок не может пить воду самостоятельно, надо обязательно колоть физраствор часто подкожно или делать капельницы. От обезвоживания он будет быстро слабеть в любом случае. Без воды живут очень недолго.

гнать к лешему безграмотного врача и искать нормального доктора, который возьмет анализы крови, общий и биохимию, смывы на инфекции, и поставит диагноз, хотя бы предварительный.
антибиотик назначается на курс не менее 10 дней, чаще 12-14, 5 дней вообще ни о чем
синулокс это антибиотик общего спектра, очевидно что он не помог, нужно определять, что именно у котенка, какая конкретно инфекция, и назначать антибиотик целенаправленно

Сходите к другому врачу. Если к у него герпесвирусный ринотрахеит, то описанного лечения явно не достаточно. Проконсультируйтесь на форумах клиник, где отвечают врачи,

Можно слушаться ветеринаров и никакой самодеятельности

Какой диагноз вет поставил? если не помогает лечение -или назначили от балды лекарства или ошиблись с диагнозом или вы поздно обратились-идите к другому вету пока не поздно