как фотографировать движение не зеркалкой, - чтобы фотографии не были размыты - ?

Леся, в Вашем случае не так много вариантов. Во-первых, когда света достаточно, например, выступление происходит днем под открытым небом, стоит поставить режим "Спорт", тогда камера сама установит кратчайшую из возможных выдержку (то есть, время, когда свет падает на матрицу фотоаппарата). Чем короче будет выдержка, тем меньше успеют за это время пошевелиться снимаемые обхекты и тем резче будет фотография.
Во-вторых, когда света не хватает, снимать можно либо только статические объекты, либо "с проводкой". Выбираем обычный авторежим или тот же "Спорт". Затем либо ловим моменты статики. Например, подброшенный предмет, в том числе акробат или фигурист, всегда на мгновение замирает в верхней точке. Именно в этот момент должен сработать затвор камеры (как это делать, если радо, тоже расскажу). Либо ведем камерой за героем так, чтобы он все время оставался в одном и том же месте видоискателя/экрана. В этот момент не останавливая движения плавно нажимаем на спуск.

Уменьшить выдержку

На коротких выдержках... или с "проводкой" учиться надо (иначе ни как) если есть режим спорт - пробуйте снимать в нём!

C проводкой фоткай на длительной выдержке ...1/60 - 1/80 сек и чуть прижатой дырке .
Так и шумов меньше ( камера на атомате ISO меньшее значение выставит ) и объекты от фона оторвешь . ( на малой ГРИП и Motion Blur заднего плана от проводки )

1. Когда обсуждаем фото, всегда желательно выложить где-нибудь на Яндекс Фотки свою фото и описать, что не нравится. На сервисе Яндекс фотки много возможностей, и один из самых важных - фото сохраняются без обработки, что важно в проблемных случаях.
Для примера одна из моих страниц:
https://fotki.yandex.ru/users/v-shuld/album/476360/
2. Похоже, у Вас тот случай, когда возможности фотоаппарата исчерпаны. И нужен более качественный.
Вот я снимал на новогоднем корпоративе на фотоаппарат Sony DSC-P200 (смазано) и на зеркалку Nikon D5300:

1. Вариант: Короткая выдержка
2. Вариант: С проводкой

Минимальная выдержка, максимальная диафрагма. М. Б. есть режим спортивной съёмки.