На ровном склоне горы, наклон которого к горизонту α=30∘, на высоте h=20 м друг над другом находятся два школьника.

Условие: Угол склона α = 30°, разность высот бросальщиков h=20 м.
Вычислить Dm - минимальую дистанцию сближения м-ду падающими камнями с помощью "Системы координат в свободном падении".


Особенность задачи в том, что не задана ключевая величина - значение скорости бросания. Обозначим буквой v модуль начальной скорости камней. Начертим поясняющий чертёж (прилагаю ниже), всегда помогающий чётко прояснить ситуацию.
Верхний камень брошен горизонтально, поэтому его вектор начальной скорости имеет координаты (v ; 0) .
Нижний камень, брошенный перпендикулярно склону, под углом β = 90° - α = 60° к горизонту, получает вектор начальной скорости
(v·cos(β) ; v·sin(β)) .

Оба камня падают с одинаковым ускорением g = 9,81 м/с2 земного тяготения. Однако, Условие предписывает нам "решать… с помощью Системы координат в свободном падении". Это значит, при переходе в СО (Систему Отсчёта), связанную с верхним камнем, наблюдателю, якобы находящемуся в этом верхнем камне, кажется, будто нижний камень движется прямолинейно и равномерно, без ускорения. Камни сближаются до искомой дистанции Dm = 20 , а потом расходятся прочь.

Получив формулу вычисления дистанции м-ду камнями D = √[v2·t2 - 40·√3·v·t + 1600] , я использовал стандартный и всеми любимый метод вычисления производной функции
P(t) = dD(t) / dt и последующим приравниванием этой производной к нулю. Без него я не мог понять, на что же влияет фиктивная скорость бросания v ? Оказалось, v влияет на время сближения, но не на мини-дистанцию Dm .
Метод имеет очень удобное свойство : "Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю", и это позволяет вычислять производные упрощённо, отбросив громоздкий знаменатель (об этом не все догадываются, но Вы будете знать).

Если Вы в школе ещё не проходили вычисление производных, то можете заменить эту непривычную операцию математическим трюком: заменим v·t единой переменной s = v·t .
В уравнении D2 = s2 - 40·√3·s + 1600 выделим полный квадрат по школьному примеру (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2
D2 = s2 - 2·20·√3·s + (20·√3)2 - (20·√3)2 + 1600 - добавили и отняли член (20·√3)2 .
D2 = (s - 20·√3)2 - 400·3 + 1600 = (s - 20·√3)2 - 1200 + 1600 = (s - 20·√3)2 + 400 > 0 всегда, потому что квадрат выражения в скобках >= 0 .
Из этого выражения сразу видно, что D2 имеет минимум, когда выражение в скобках = 0. И тогда D2 = 400 , а Dm = √400 = 20.

Ещё Вы можете упростить копию своего решения заменой переменной v на простое число 1 или 10 . На нижнем графике я показал зависимости расстояний м-ду камнями при v = 10 м/с . В маткаде я задал для проверки v = 5 м/с , все 3 линии графика масштабно растянулись вдвое вправо по оси времени, но искомая величина Dm = 20 м осталась прежней.
Ответ : минимальная дистанция сближения м-ду падающими камнями равна 20 м.

Второй вариант Решения : Исследуем прямую траекторию движения нижнего камня относительно верхнего. Траектория направлена по вектору относительной скорости
V→o = V→2 - V→1 . Угловой коэффициент траектории : k = Voy / Vox = -√3

Затем вычисляем уравнение прямой "b" траектории с этим коэффициентом, проходящей ч-з точку K2 (см учебную статью "Уравнение прямой на плоскости" Ссылка3 )
Искомое расстояние Dm от точки K1 до прямой b есть длина перпендикуляра от K1 до b . Строим перпендикуляр "p" и получаем тот же Ответ : Dm = 20 м.

В горах нельзя бросать камни.