Брошенное вертикально вверх тело побывало на высоте 40 м дважды с интервалом 2 с.

При вертикально вверх брошенном теле зависимости координаты и проекции скорости от времени определяются формулами:

y = v₀t - gt² / 2
vy = v₀ - gt

Первое уравнение перепишем так:

(g/2)t² - v₀t + y = 0

Известно, что тело побывало на одной и той же высоте y = h в два момента времени: t₁ и t₂. Эти моменты времени - два корня этого квадратного уравнения, которые определяются по формулам:

t₁ = (v₀ - √D)/g, t₂ = (v₀ + √D)/g,
где D - дискриминант квадратного уравнения, D = v₀² - 2gh
Вычитая эти два корня, получаем выражение для разности времён:

Δt = t₂ - t₁ = 2√D/g

отсюда D = (gΔt / 2)²

Приравнивая два выражения для D, находим начальную скорость:

v₀² - 2gh = (gΔt / 2)²

v₀ = √(2gh + (gΔt / 2)²)

Дано: g = 10 м/с², h = 40 м, Δt = 2 c. Подставляя числовые значения. получаем:

v₀ = √(2*10 м/с² * 40 м + (10 м/с² * 2c / 2)²) = √(800 м²/с² + 100 м²/с²) =
= √(900 м²/с²) = 30 м/с

Время подъёма мы можем узнать из формулы для проекции скорости, которая в точке наивысшего подъёма равна нулю: 0 = v₀ - gT, откуда T = v₀ / g = 30 м/с / 10 м/с² = 3 c. Зная время, можем определить максимальную высоту подъёма:

Н = v₀T - gT² / 2 = 30 м/с * 3 с - 10 м/с² * 9 с² / 2 = 90 м - 45 м = 45 м.

Ответ:
а) 45 м
б) 30 м/с