Можно ли выписаться с ребенком в "никуда", пока не приобрел новое жилье? Как поступают, когда некуда прописаться?

Нет, самостоятельно принять за несовершеннолетнего решение остаться без регистрации Вам не позволят. Паспортный стол просто не примет документы без бумаг из органов опеки, а те, естественно такого разрешения не выдадут.
Когда некуда переезжать все здравомыслящие люди остаются там, где живут сегодня. Вы же должны понимать, как взрослый человек, что пока у Вас физически нет нового жилья, то проблема не только в регистрации на бумаге, а в реальном отсутствии места, куда Вы с ребёнком переедете.
Так что в таких случаях, если хотите купить новое жильё на стоимость старого, ищите варианты именно такого оформления сделок. Любая риелторская фирма расскажет Вам, как именно оформляются в таких случаях документы, чтобы никто не переживал, что его обманут.
Органы опеки Вам всё равно придётся привлекать для одобрения сделок, так как новая площадь, достающаяся ребёнку не может быть меньше той, которая есть у него сегодня (например, если сейчас у Вас большая квартира, а Вы хотите купить маленькую и потратить разницу, то Вам не позволят это сделать. Только если сегодня у Вас намного больше нормы метраж, и купите Вы не меньше нормы, плюс сможете обосновать, почему есть необходимость уменьшать метраж (зарплата 20 тысяч, а мы хотим на море летом на всю разницу съездить - это не обоснование)

Находите покупателя на свою квартиру и подбираете себе вариант покупки. Сделка будет одновременной - купля-продажа. Но покупаемая квартира должна быть лучше продаваемой, иначе органы опеки не разрешат.

Просто выписываются и потом прописываются. Несколько недель без прописки ничего не изменят. Да и прописка сейчас мало важного несет. Я вот вообще не знаю зачем она нужна.

Ребёнка прописать в "никуда" нельзя ни при каких обстоятельствах - прежде чем продавать, нужно купить .Если вы покупаете комнату с обременением ( с прописанным ребёнком ), то вы должны понимать, что это определённый риск - неизвестно когда построится их новое жильё...,но если другого выхода нет, то возможно обговорить все условия данной сделки и закрепить это документально.