Можно ли в Исламе усыновлять детей?

В Коране сказано:
" Аллах не даровал человеку двух сердец в одном теле. Он не сделал вашими матерями тех ваших жен, которых вы объявляете запретными для себя, и не сделал ваших приемных сыновей вашими сыновьями. Это – всего лишь слова из ваших уст. Аллах же глаголет истину и наставляет на прямой путь.
Зовите их (приемных детей) по именам их отцов. Это более справедливо перед Аллахом. Если же вы не знаете их отцов, то они являются вашими братьями по вере и вашими близкими. Не будет на вас греха, если вы совершите ошибку, если только вы не вознамерились совершить такое в сердце. Аллах – Прощающий, Милосердный. " (33:4,5)

Этими аятами запрещается усыновление приемных детей. Потому что каждый человек должен знать о своих настоящих родителях, знать свои корни, его нельзя обманывать в этом отношении, поэтому его нельзя записывать под своим именем. (то есть под именем приемного отца)
. Однако взять сироту, воспитать его- это как раз поощряется в исламе.
Посланник Аллаха (СААС) сказал: "Тот, кто воспитал сироту, который остался без матери и отца, тот войдет в рай рука об руку со мной", есть и другие хадисы, возвеличивающие человека, который взял на себя все заботы по воспитанию сироты.
Если же он, зная свое истинное происхождение, булет называтьВас "папа", а приемную мать- "мама", то в этом ничего предосудительного нет.
. А Аллах знает об этом лучше

Да, это можно

Мои бывшие соседи мусульмане. У них растёт усыновлённый сын. 4 или 5 лет ему сейчас.

Да, у Пророка мир ему и милость Аллаха был сын приемный.