Упоминается ли слово "еврей" в четырех Евангелиях? И если да, то в каком из Евангелий и в какой главе?

Нет. Слова "еврей" в Евангелиях, похоже, нет. Есть прилагательное "еврейский" ( язык), в Иоанна, в нескольких местах.

Послание к Евреям
Глава 1
Чис 12, 6 1 Пет 1, 10
1 Бог, многократно и многообразно говоривший издревле отцам в пророках,
Пс 2, 8 Ис 9, 6 Ин 1, 3 Ин 8, 26 Ин 15, 15 Гал 4, 4 Еф 1, 10
2 в последние дни сии говорил нам в Сыне, Которого поставил наследником всего, чрез Которого и веки сотворил.
Пс 109, 1 Прем 7, 26 2 Кор 4, 4 Еф 1, 7 Кол 1, 15
3 Сей, будучи сияние славы и образ ипостаси Его и держа все словом силы Своей, совершив Собою очищение грехов наших, воссел одесную (престола) величия на высоте,
Флп 2, 9
4 будучи столько превосходнее Ангелов, сколько славнейшее пред ними наследовал имя.
Пс 2, 7 2 Цар 7, 14 1 Пар 17, 13 Евр 5, 5
5 Ибо кому когда из Ангелов сказал Бог: Ты Сын Мой, Я ныне родил Тебя? И еще: Я буду Ему Отцем, и Он будет Мне Сыном?
Пс 96, 7
6 Также, когда вводит Первородного во вселенную, говорит: и да поклонятся Ему все Ангелы Божии.
Пс 103, 4
7 Об Ангелах сказано: Ты творишь Ангелами Своими духов и служителями Своими пламенеющий огонь.
Лк 1, 32
8 А о Сыне: престол Твой, Боже, в век века; жезл царствия Твоего - жезл правоты.
Пс 44, 7-8 Ис 61, 1 Ин 3, 34 Деян 4, 27
9 Ты возлюбил правду и возненавидел беззаконие, посему помазал Тебя, Боже, Бог Твой елеем радости более соучастников Твоих.
10 И: в начале Ты, Господи, основал землю, и небеса - дело рук Твоих;
Ис 34, 4 Ис 51, 6 Мф 24, 35
11 они погибнут, а Ты пребываешь; и все обветшают, как риза,
Пс 101, 26-28
12 и как одежду свернешь их, и изменятся; но Ты тот же, и лета Твои не кончатся.
Пс 109, 1 Мк 12, 36 Мк 16, 19 Еф 1, 20
13 Кому когда из Ангелов сказал Бог: седи одесную Меня, доколе положу врагов Твоих в подножие ног Твоих?
Быт 19, 16 Пс 33, 8 Пс 90, 11 Пс 102, 21 Дан 7, 10 Деян 5, 19
14 Не все ли они суть служебные духи, посылаемые на служение для тех, которые имеют наследовать спасение?

Нет, в четырех Евангелиях этого слова нет. Есть в Деяниях:

1 В эти дни, когда умножились ученики, произошел у Еллинистов ропот на Евреев за то, что вдовицы их пренебрегаемы были в ежедневном раздаянии потребностей.
(Деян.6:1)

еврей, жидовин, иудей синонимы, смотри разные переводы и найдешь

Лень прочесть самой?