Каким будет решение у этих неравенств??

Продолжаем аттракцион невиданной щедрости! Выдаю бесплатно, хотя это стоит как минимум 100 руб.
6) |x| < 2/x
Если x < 0, то решений нет, потому что положительный |x| не может быть меньше, чем отрицательный 2/x.
Значит, x > 0, |x| = x
x < 2/x
x^2 < 2
0 < x < V(2)

7) (|x| - 5)(|x| - 7) <= 0
а) x < 0, |x| = -x
(-x - 5)(-x - 7) <= 0
Умножаем обе скобки на -1, знак неравенства остаётся
(x + 5)(x + 7) <= 0
{ -7 <= x <= -5
{ x < 0
-7 <= x <= -5

б) x >= 0, |x| = x
(x - 5)(x - 7) <= 0
5 <= x <= 7

Ответ: -7 <= x <= -5 U 5 <= x <= 7

8) |(x + 4) / (x + 2)| <= 1
{ (x + 4) / (x + 2) >= -1
{ (x + 4) / (x + 2) <= 1

{ (x + 4) / (x + 2) + 1 >= 0
{ (x + 4) / (x + 2) - 1 <= 0

{ [ (x + 4) + (x + 2) ] / (x + 2) >= 0
{ [ (x + 4) - (x + 2) ] / (x + 2) <= 0

{ (2x + 6) / (x + 2) >= 0
{ 2 / (x + 2) <= 0

{ x <= -3 U x > -2
{ x < -2
x <= -3

9) |4 - x| / (x + 6) < 3
а) x > 4, 4 - x < 0, |4 - x| = x - 4
(x - 4) / (x + 6) < 3
(x - 4) / (x + 6) - 3 < 0
[(x - 4) - 3(x + 6)] / (x + 6) < 0
(x - 4 - 3x - 18) / (x + 6) < 0
(-2x - 22) / (x + 6) < 0
-2(x + 11) / (x + 6) < 0
Делим на -2, знак меняется
(x + 11) / (x + 6) > 0
{ x < -11 U x > -6
{ x > 4
x > 4

б) x <= 4, 4 - x >= 0, |4 - x| = 4 - x
(4 - x) / (x + 6) < 3
(4 - x) / (x + 6) - 3 < 0
[(4 - x) - 3(x + 6)] / (x + 6) < 0
(4 - x - 3x - 18) / (x + 6) < 0
(-4x - 14) / (x + 6) < 0
-4(x + 3,5) / (x + 6) < 0
Делим на -4, знак меняется
(x + 3,5) / (x + 6) > 0
{ x < -6 U x > -3,5
{ x <= 4
x < -6 U -3,5 < x <= 4
Получается: x < -6 U -3,5 < x <= 4 U x > 4
Точка 4 - это не точка разрыва, поэтому
Ответ: x < -6 U x > -3,5

10) 4 / (|x + 1| - 2) >= |x - 1|
а) x < -1, |x + 1| = -x - 1, |x - 1| = 1 - x
4 / (-x - 1 - 2) >= 1 - x
4 / (-x - 3) >= 1 - x
4 / (-x - 3) - (1 - x) >= 0
[4 - (-x - 3)(1 - x)] / (-x - 3) >= 0
[4 + x - x^2 +3 - 3x] / (-x - 3) >= 0
(-x^2 - 2x + 7) / (-x - 3) >= 0
Умножаем на -1 и числитель и знаменатель, знак неравенства остается
(x^2 + 2x - 7) / (x + 3) >= 0
(x + 1 - V(8))(x + 1 + V(8)) / (x + 3) >= 0
-1 - V(8) ~ -3,83 < -3
-1 + V(8) ~ 1,83
{ -1 - V(8) <= x < -3 U x >= -1 + V(8)
{ x < -1
-1 - V(8) <= x < -3

б) -1 <= x < 1, |x + 1| = x + 1, |x - 1| = 1 - x
4 / (x + 1 - 2) >= 1 - x
4 / (x - 1) >= 1 - x
4 / (x - 1) - (1 - x) >= 0
4 / (x - 1) + (x - 1) >= 0
[4 + (x - 1)^2] / (x - 1) >= 0
4 + (x - 1)^2 - это сумма квадратов, она положительна при любом х, поэтому
x - 1 > 0
{ x > 1
{ -1 <= x < 1
Решений нет

в) x >= 1, |x + 1| = x + 1, |x - 1| = x - 1
4 / (x + 1 - 2) >= x - 1
4 / (x - 1) - (x - 1) >= 0
[4 - (x - 1)^2] / (x - 1) >= 0
(2 - x + 1)(2 + x - 1) / (x - 1) >= 0
(3 - x)(x + 1) / (x - 1) >= 0
Умножаем на -1, знак меняется
(x - 3)(x + 1) / (x - 1) <= 0
{ x <= -1 U 1 < x <= 3
{ x >= 1
1 < x <= 3
Ответ: : -1 - V(8) <= x < -3 U 1 < x <= 3

Раскройте знак модуля по определению и решите системы или совокупности неравенств.