x₁ = sin(π/18) ≈ 0,1736481776693034885
x₂ = sin(π/14) ≈ 0,222520933956314404
x₃ = sin(5π/18) ≈ 0,766044443118978035
x₄ = sin(5π/14) ≈ 0,900968867902419126.
0) сначала узнаем ответ, «тупо» построив график функции F(x) = 8x(1−2x²)(8x⁴−8x²+1)−1 на отрезке [0;1]:
Два корня видны отчётливо — на отрезке [0,75;0,8] и около 0,9; плюс два корня на отрезке [0,15;0,25]:
Итак, ответ мы уже знаем: 4 корня.
---------------------------
1) Ну а теперь собственно решение.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что x=0 и x=1 не являются решениями, поэтому отрезок можно заменить на интервал: x∈(0;1).
Делаем замену x = sin(φ), x∈(0;π/2). Тогда
1−2x² = 1−2sin²x = cos(2φ),
8x⁴−8x²+1 = 2(1−2x²)²−1 = 2cos²(2φ)−1 = cos(4φ),
и уравнение принимает вид:
8sin(φ)cos(2φ)cos(4φ) = 1.
Домножим левую и правую части на cos(φ)≠0 (мы договорились, что 0<φ<π/2), тогда левая часть с использованием формулы синуса двойного угла (трижды) сворачивается:
sin(8φ) = cos(φ), 0 < φ < π/2.
А это уже легко исследуется (например, графически) :
Отчётливо видно, что корней ровно четыре.
Кстати, при желании их уже несложно найти:
sin(8φ)−sin(π/2−φ) = 0;
2sin(9φ/2−π/4)) cos(7φ/2+π/4) = 0.
а) 9φ/2−π/4 = kπ;
φ = (4k+1)π/18.
Поскольку 0<φ<π/2, то (9φ/2−π/4) ∈ (−π/4,2π).
получаем два корня:
k=0 ⇒ φ₁ = π/18;,
k=1 ⇒ φ₂ = 5π/18.
б) 7φ/2+π/4 = nπ+π.2;
φ = (4n+1)π/14.
Поскольку 0<φ<π/2, то (7φ/2+π/4) ∈ (π/4,2π).
Имеем ещё два корня:
n=0 ⇒ φ₃ = π/14,
n=1 ⇒ φ₄ = 5π/14
Итак, мы можем даже аналитически записать решения.
Вот соответствующее отображение на оси φ:
Места в комментарии уже мало, поэтому записать решение здесь не смогу.
В случае б) из основного решения добавляется ещё один вариант: n=−1, φ = −3π/14.
А в случае а) добавляются ещё два решения: k=−2, φ = −7π/18, и
k = −1 ⇒ φ = −π/6 ⇒ имеем единственное рациональное решение исходного уравнения: x = −½.
ОТВЕТ: добавляются ещё три решения:
x₅ = −sin(7π/18) ≈ −0,939692620785908394,
x₆ = −sin(3π/14) ≈ − 0,673198425769241408,
x₇ = −0,5.
Поскольку исходное уравнение имеет степень 7, никаких других решений (ни действительных, ни комплексных) оно не имеет.