На диагонали AC квадрата ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите, что BNDM ромб.

По определению ромба: Ромб – "четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой" можно сделать вывод, что для доказательства необходимо определить, равны-ли стороны: BM, MD, DN, NB.

Рассмотрим треугольники ABM и NBC - они равны, т. к. сказано, что отрезки AM и CN - равные, а стороны AB и BC - стороны квадрата, а так же диагональ в квадрате делит углы поровну (т. е. по 45°) => BM=NB.

То же самое и со сторонами MD и ND: треугольники AMD и NDC -равные по двум сторонам и углу => MD=ND.

отрезки AM и CN - общие для треугольников ABM, NBC и AMD, DNC соответственно. А AB=BC=AD=CD(т. к. стороны квадрата) => треугольники ABM, NBC, AMD, DNC - равные => MD=NB=MD=ND =>BNDM - ромб.

Немного путано, лишнее выкиньте :)

Поскольку АВСД квадрат, то его стороны равны (АВ=ВС=СД=ДА) , то треугольник АМД=АМВ (поскольку АД=АВ и АМ у них общая сторона) . Отсюда, ДМ=ВМ. Аналогичным способом доказываем ДН=ВН.
Далее треугольник АМД=СТД (поскольку АД=СД, АМ=СН по условию, то ДМ=ДН.
Т. к. ранее доказано, что ДМ=ВМ и ДМ=ДН, и ДН=ВН, то ДМ=ВМ=ВН=ДН, а значит стороны четырехугольника равны.
Проведем диагональ квадрата АВСД – ДВ, поскольку он квадрат, то они пересекаются под углом 90 градусов в точке О.
Треугольник ВОМ=ВОН, т. к. ВМ=ВН, ВО – общая сторона, то выходит, что ВО-биссектриса угла НВМ.
Таким же образом получаем, что ДО – биссектриса угла МДН, а, значит, что треугольники ДОМ=ДОН=ВОМ=ВОН и соответственно, ВД и МН- диагонали четырехугольника ВМДН и они пересекаются под прямым углом, а выходит, что четырехугольник ВМДН – ромб.