Алгебра. При каких отрицательных значениях с прямая у=сх-9 имеет с параболой у=х^2+5х ровно одну общую точку?

Прямая имеет одну общую точку с параболой y = ax^2 + bx + c в двух случаях: касается её или расположена вертикально.
Второй случай не рассматриваем, в виду того, что тогда параметр c в уравнении прямой стремится к -∞.
А для случая касательной

cx - 9 = x^2 + 5x;
x^2 + (5-c)x + 9 = 0;
Это уравнение должно иметь один корень, поэтому его дискриминант равен 0.
D = (5 - c)^ - 36.
(5 - c)^ - 36 = 0;
c^2 - 10c + 25 - 36 = 0;
c^2 - 10c - 11 = 0; c1 = -1, c2 = 11.
Оставляем только отрицательный корень, потому что именно он нам нужен, согласно условию задачи.

Теперь расчитаем координату точки касания.
-1 * x - 9 = x^2 + 5x
x^2 + 6x + 9 = 0
x = -3.
Ординату можно расчитать, подставив -3 в любое уравнение.
-x - 9 = 3 - 9 = -6.

Ответ: c=-1, общая точка (-3; -6).

Ответ
{ y = cx - 9
{ y = x^2 + 5x
=>
cx - 9 = x^2 + 5x
x^2 + 5x - cx + 9 = 0
x^2 + (5-c)*x + 9 = 0
x1.2 = [-(5-c) +- V{(5-c)^2 - 4*9}] /2 =
= [-5+c +- V{25 - 10c + c^2 - 36}] /2 =
= [-5+c +- V{c^2 - 10c - 11}] /2
Прямая имеет с параболой у=х^2+5х ровно одну общую точку при
D = 0 => c^2 - 10c - 11 = 0
c1 = 11, c2 = -1 =>
при с = -1 прямая у=сх-9 имеет с параболой у=х^2+5х ровно одну общую точку.