Помогите пожалуста найти множество значений функции y=sin^8x+cos^8x !!!

Я делал так

Ответ. y(x)=(sin(x))^8+(cos(x))^8; Уравнение не имеет ни одного действительного решения.

??это шутка?

Все сводится к
f (y)=(1/8)y^2-y+1
sin^2( 2x)=y
y [0, 1]
Продолжайте читать здешний бред- видимо, нравится...

sin^8x+cos^8x=

=(sin^8x+cos^8x +2*sin^4x*cos^4x )- 2*sin^4x*cos^4x=

=(sin^4x + cos^4x)^2- sin^4 (2x)/8=

=[(sin^4x + cos^4x+2*sin^2x*cos^2x )- 2*sin^2x*cos^2x ]^2- sin^4 (2x)/8=

=[(sin^2x + cos^2x)^2- sin^2 (2x)/2]^2- sin^4 (2x)/8=

=[1- t/2]^2 - t^2/8=

=1- t + t^2/8

t= sin^2 (2x)
0<= t <=1

функция 1- t + t^2/8 монотонна (производная -1+ t/4 на интервале нулей не имеет)

минимум и максимум достигаются на концах

подставляем t=0 и t=1

Я бы сделала графически сложением графиков.
Функции находятся в противофазе. Максимум одной гасит минимум другой, в этих точках 0, а максимальный разброс от -1 до +1

Функции sin и cos одновременно не могут быть равны 0.
Значение y(0)=0^8+1^8=1.
Область значений E(y)=(0;1]

1) y = 2(sin^2)x - cos 2x
2) y = 1 - 8(cos^2)x*(sin^2)x
3) y = 1 + 8 (cos^2)x/4
4) y = 10 - 9(sin^2)3x

1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25

cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

= 3/5 · 17/25= 51/125

2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]

4) 13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x +4cos²5x =1+4cos²5x =
=1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
-1 ≤ cos(10x) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
Значит,
1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5
Наименьшее значение выражения 13sin² 5x +17cos²5x равно 1

1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5

1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25

cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

= 3/5 · 17/25= 51/125

2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]

4) 13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x +4cos²5x =1+4cos²5x =
=1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
-1 ≤ cos(10x) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
Значит,
1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5
Наименьшее значение выражения 13sin² 5x +17cos²5x равно 1

1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5

1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25

cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

= 3/5 · 17/25= 51/125

2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]

4) 13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x +4cos²5x =1+4cos²5x =
=1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
-1 ≤ cos(10x) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
Значит,
1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5
Наименьшее значение выражения 13sin² 5x +17cos²5x равно 1

[0.125; 1]

1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25

cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

= 3/5 · 17/25= 51/125

2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]

1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5

1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5

sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5

1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25

cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

= 3/5 · 17/25= 51/125

2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]

4) 13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x +4cos²5x =1+4cos²5x =
=1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
-1 ≤ cos(10x) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
Значит,
1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5