Должны ли органы местного самоуправления компенсировать родителям затраты на обучение ребенка-инвалида?

Раз речь идет о компенсации через органы местного самоуправления, то и законы нужно смотреть вашего региона. Обратитесь с этим запросом (письменно) в органы соц. защиты и департамент образования. Вам должны дать письменный подробный ответ.
По информации в вашем вопросе, трудно вам чем-то помочь. Не ясно сколько лет ребенку, в каком учреждении учится ребенок (дошкольное, школьное; государственное, частное) , что именно вы называете затратами на обучение? Согласно закону "Об образовании" обучение у нас в стране бесплатное. Но, как справедливо было замечено Александром Романовым, если у вас в ИПР вписан определенный вид обучения, и вы его оплачиваете, то вы вправе рассчитывать на компенсацию (правда это необязательно должно быть связано с органами местного самоуправления) . Еще существуют различные программы помощи для детей-инвалидов (в том числе и предоставления компьютеров) в получении образования. Но здесь компенсация не предусмотрена - помощь педоставляется в натуральной форме. Еще есть компенсация затрат на учебники, на питание (даже если ребенок обучается на дому) , на такси.

Вам необходимо обратиться в управление социальной защиты по месту прописки и в отдел образования администрации города.
У каждого субъекта РФ есть дополнительные статьи затрат на помощь инвалидам и являются расходными обязательствами бюджетов РФ.

ФЗ " О социальной защите инвалидов в РФ" от 14.11.1995 г. с изменениями от 22.12.2008г.
Закон РФ " Об образовании" от 10.07.1992 г. № 3266-1 с изменениями от 25.12.2008г.
"....обучение производится образовательными учреждениями на дому или в лечебных учреждениях.... "

Регулируется Законом "О социальной защите инвалидов в РФ", базовый документ бля выплат и компенсаций это ИПР (Индивидуальная программа реабилитации инвалида)
Нет ИПР, нет оснований для каких либо выплат и компенсаций.

Насчет компенсации не слышал, а вот то что ребенок-инвалид обучается дома по интернету знаю точно. Все оборудование и программное обеспечение предоставлено бесплатно. Контроль тоже есть, но ситуации разные.