Следуя простой логике ребенка "отпрыском" называть могут только мужики, почему у теток не принято называть его "впрыск"?

да уж...

Потому что это не всем будет понятно, механики примут его за двигатель внутреннего сгорания, крестьяне вообще не разберутся, что к чему, поэтому у женщин принято называть его приёмышем.

можешь называть так своих детей

Не стал бы отвечать и искать этимологию. Но в вашу версию как-то сразу не поверилось. Слимшком цинична, чтобы стать довольно распространённой. Дети всё-таки.

Изначально слово "отпрыск" использовалось в биологии (ботанике) и имело только одно значение - вторичный или боковой побег, образовавшийся от почки на корне или корневище.
Произошло слово от глагола "прыскать, прыщать, прыснуть" со значением "стремительно, внезапно прорываться, выскакивать", то есть побег как бы прорывается, выскакивает из почки, и потому и был назван "отпрыск".
Позже слово стало использоваться в ироническом смысле по отношению к детям, потомкам. (типа они побеги своих родителей по аналогии с "яблоком от яблони", "плод чрева" и т. п. )

Значение
ботан. молодой побег растения, отходящий от пня или корня ◆ Для этого значения не указан пример употребления. Вы можете оказать помощь проекту, добавив пример употребления из литературного произведения или повседневного общения.
перен. , устар. , высок. или ирон. потомок, дитя ◆ Урожденная княжна Ознобишина, последний отпрыск знатного и богатого рода А. И. Куприн, «Тапер»

отпрыском называются отростки растений, так что причём тут ваша логика?

Блестящее предложение)

мать как бы при родах тоже его отпрыскивает от себя (хотя та больше на отстрел ступени ракеты носителя похоже)