Как это предложение от работодателя понимать (условия работы)а именно вот эти строки"оформление по ТК, можно по договору

Да, это два разных вида договоров с организациями. По ТК - трудовому кодексу, для работника предпочтительнее-он этим ТК как- никак защищен - предоставляется отпуск, оплачивается больничный, упаси господь при травме на работе - выплачивается все, что положено, так как работник страхуется. А при оформлении отношений с работодателем по трудовому договору всего этого нет, разве что если в этом договоре работодатель сам пропишет кое-что, но это, как правило, не делается. По договору только пишут, какую работу будете выполнять, в какие сроки, какого объема и денежное вознаграждение за работу. А вконце еще пишут, что работник сам за себя отвечает в плане требований безопасности. Это очень чревато! Идите и оформляйтесь по ТК и не иначе.

Выполнение поручений руководителя прикольная обязанность, понимай как хочешь!

Перечень поручений в договоре! Хоть по ТК . Даже ТК предусматривает договор. А то напоручает...

Фраза "Оформление по ТК" означает, что Вас примут на работу в соответствии с буквой закона, с записью в трудовой книжке, предоставлением оплачиваемого отпуска, оплатой больничных листов и прочими гарантиями, записанными в Трудовом кодексе.
Если кто-то не хочет оформляться с записью в трудовой книжке по каким-либо причинам, то возможно выполнять работу по трудовому договору, который Вы заключите с работодателем.

Трудовой договор заключается в любом случае, в трудовом договоре должны описываться все условия работы, дополнительно вам должны дать должностную инструкцию с которой вы должны ознакомится, подписать и один экземпляр договора и инструкции должны быть обязательно у вас.