Для чего нужен сердечник в трансформаторе.

Для снижения потерь на рассеяние (Айрат как раз про это написал) и для повышения передаваемой мощности. Это не так очевидно и не все про это знают.
На самом деле задача трансформатора - передавать мощность (а не понижать/повышать напряжение) . Поскольку энергия передаётся через магнитное поле, то передать её за раз (за каждую полуволну напряжения) можно не больше, чем её удастся впихнуть в магнитное поле. А плотность энергии магнитного поля - это половина произведения напряжённости поля на индукцию. Вот как раз для повышения индукции и применяется сердечник - с ним индукция магнитного поля в несколько тысяч раз выше (ну или сколько там магниотная проницаемость материала...) , чем без него. Поэтому чем выше магнитная проницаемость - тем, при прочих равных, больше мощность, которую может передать трансформатор.
Попутно из этого следует, что для повышения мощности надо либо повышать размер сердечника (поэтому мощные трансформаторы такие большие) , либо повышать частоту (поэтому имульсные блоки питания такие компактные) .

По поводу реактивного сопротивления: да, оно возрастает, но только на холостом ходу. Под нагрузкой сопротивление, которое видит источник, - это уже сопротивление НАГРУЗКИ (умноженное на квадрат к-та трансформации).

На СВЧ, так и не необходимы. Что бы зря мощность на нагрев железа не тратить.

Сердечник (магнитопровод) служит для эффективной передачи энергии из первичной обмотки во вторичную через магнитное поле, которое практически полностью концентрируется внутри сердечника. Без сердечника большая часть магнитного поля первичной обмотки впустую рассеялась бы в пространстве, не приняв участия в индукции тока во вторичной обмотке.

Для повышения магнитопроводности. Он от этого меньше греется и повышается его КПД.

Для магнитопроводности!

Сердечник только повышает индуктивность (сразу все три L11, L12, L22 на одну и ту же величину).
Если уменьшить индуктивность, то увеличиться ток через первичную обмотку, т. к. необходимо будет обеспечить тот же магнитный поток. При этом этот ток будет почти ортогонален напряжению (т. е. будет отставать почти на 90 градусов).
Если увеличить индуктивность, то входной ток уменьшится, и его фаза будет почти совпадать с фазой входного напряжения.
Промежуточная ситуация происходит когда омега*L порядка R нагрузки