что случится, если в трансформаторе двигать сердечник?

В худшем случае сгорит первичная обмотка. В лучшем: по мере вынимания будет падать коэффициент трансформации и, соответственно напряжение на вторичной обмотке.
Причем напряжение падает резко, если зазор небольшой, то в магнитопроводе магнитный поток еще будет создаваться, а по мере увеличения зазора в магтинопроводе, резко упадет. Соответственно, если не будет магнитного потока, то не будет ЭДС во вторичке и тока в ней.

Если обмоткі двігать, то связь будет ізменяться і нагрузочная характерістіка будет меняться.

Всё зависит от конструкции транса т. к. сварочник-это трансформатор тока, рассчитаный на работу вторичной обмотки на токах короткого замыкания, то регулировать (уменьшать) этот самый отдаваемый на изделие ток можно увеличивая магнитный зазор в сердечнике, да и то сердечник полностью не вытаскивается, иначе небудет явления перемагничивания и взаимодействия магнитного потока. Т. е. если сердечник вынуть-то трансформатор перестанет работать. А сгореть-ничего не сгорит.

100 % первичная обмотка сгорит

Генератор получится.
Кстати, он так и устроен.. .
Только форма оптимизирована.

Как ты обмотку на половина выдвенишь из сердечника. Непременное условие работы магнитного потока это сердечник должен замкнут быть по кругу. Есть трасформаторы которые регулируются сердечником. Но там по средине между обмотками высокой стороны и низкой, в сердечник вводится еще сердечник, вот он повидимому и меняет магнитный поток.

Мощность на вторичке будет падать. Но для такой регулировки нужно чиметь запас по первичке (больше колличество витков от расчетного) В некоторый типах сварочных трансформаторов так регулируеться ток, и в зарядных устройствах (встречал несколько раз).

Существуют сварочные апараты где путем увеличения или уменьшения зазора сердечника регулируется сварочный ток

Чем сильнее выдвигать сердечник тем меньше напряжение на вторичной обмотке а мощность упадет еще быстрей. Но плюс к этому при падении индуктивности уменьшается сопротивление обмоток, и ТР может сгореть, Для чего вам это? Лучше уменьшать ток закорачиванием магнитного потока.