Почему не используют в отоплении вместо воды, пар? И что быстрее нагреет комнату... батарея с паром или батарея с водой?

Интенсивность теплообмена, действительно, падает при снижении разницы температуры, но пар- небезопасен, в отличие от воды. Да и технологически, процесс производства пара сложнее и дороже. Везде применяются водогрейные котлы, и лучше, если они греют воду до 115 градусов.

Энергии передает меньше, теплоемкость ниже чем у воды при вменяемых температуре и давлении.

паровое отопление существует. но в основном для промышленных целей. в быту применяется намного реже по причинам:
1) трубы изнашиваются намного быстрее
2) повышенные требования к запорной арматуре
3) в случае образования конденсата в батареях-они начинают "стрелять" и щёлкать.

транспортировка и получение пара более энергозатратно и не выгодно

Пар в отоплении используют.
Вы отстали от жизни.
Там есть свои особенности. Свои плюсы и минусы.
Я как то ногой в ботинке "облокотился" на такую батарею.
Подошва от большой температуры расплавились мигом.
Паровое отопление, преимущества и недостатки.

во первых пар это испаренная вода а во вторых оборудование даже теоретически себя не отобъет

поместите на дно батареи электрод (фазу) чтоб не соприкасалась с батареей, а на батарею подайте ноль или заземление, налейте немного воды, чтоб после выкипании всей воды в батарее было давление не более 8 атм + -после пар превращается в конденсат и стекает вниз, снова попадая на электрод, процесс повторяется, не забудьте положить немного соли) температура в батарее при 6-7 атм будет порядка 150 градусов)

скорее всего, с водой. С паром быстро остывает.