С помощью какого инструмента можно определить какая лампочка перегорела в гирлянде?

С помощью китайского фазного пробника на батарейках. Им даже не касаясь провода можно определить наличие фазы. Найти фазный провод от вилки и идти по нему .Как светодиодик погаснет-значит фаза кончилась и начался ноль-эта лампочка перегоревшая.
http://cxem.net/electric/electric25-1.jpg

Если гирлянда состоит из лампочек накаливания то вот схемки.

можно и приборы типа китайских но большинстовом по опыту они бестолковые или как отписали. а тестер и принцип золотого сечения ( или метод последовательных приближений) тоже в действии

Тестер любой, прозвоните все лампочки и найдете сгоревшую по напряжению на ней, на других напряжения не будет, или можно на лампочке перемыкать контакты по очереди и как загорится гирлянда то и та лампа не исправна, только осторожнее там может быть 220 вольт легко.

с помощью мультиметра в режиме "прозвонки" ) Только он стоит дороже Гирлянды, но в хозяйстве вещь нужная

Индикатор скрытой проводки. Только он дороже чем гирлянда (

С помощью глаза.

Если лампы можно вытащить, то включаем гирлянду в розетку и вытаскиваем по-очереди каждую лампу. В гнездо вставляем отвертку с изолированной ручкой и замыкаем оба контакта в гнезде (патроне) . Не бойтесь. Ни кого не ударит током, и не произойдет короткое замыкание. Если гирлянда загорится, то лампа бывшая в этом гнезде-сгорела. Заменить сгоревшую лампу можно комочком, скатанным из любой фольги (шоколад, конфеты, чай, сигареты).

Мультиметр