Что произойдет, если на коллекторный двигатель постоянного тока (12 В) подать переменное напряжение 12 В?

Механический момент ДПТ пропорционален произведению тока якоря на поток возбуждения и на машинную постоянную
Если этот ДПТ - последовательного возбуждения, то ток якоря и поток возбуждения примерно совпадают по фазе, и их произведение даст квадрат синуса - пульсирующий, но положительный момент. ДПТ будет вращаться примерно как от половинного напряжения (за счет влияния индуктивного сопротивления, которое на постоянном токе не проявлялось), а так как его момент будет пульсировать с двойной частотой сети, то появится характерный гул - как у дрелей, миксеров и фенов.
Если этот ДПТ - параллельного возбуждения, независимого возбуждения или с возбуждением от постоянных магнитов, то момент на его валу станет не просто пульсирующим, а знакопеременным, и он будет только гудеть, а вращаться не будет. Будет вращаться лишь ДПТ с параллельным возбуждением, но только на холостом ходу и медленно - сдвиг фаз между потоками якоря и поля возбуждения слишком велик. Сгорит или нет - вопрос особый для каждого ДПТ из второй категории. С одной стороны, ток ограничен индуктивным сопротивлением, а с другой - в неподвижном якоре не наводится встречная ЭДС, что увеличит ток. Кроме того - в неподвижном состоянии нарушен теплоотвод, так что - скорее всего, он погудит и обидится, начнет вонять.

станет динамиком, и вскоре сгорит.

сгорит

гудеть будет с частотой переменного тока, пока обмотка не сгорит

Переменное разное бывает.