Двухполярное питание оу, должно ли быть полность симметричным?

Да. Иначе будет выходной сигнал с перекосом по амплитуде .

Если это усилитель переменки – вообще ничего (с практической стороны) даже с бо́льшей "кривостью". Если хватает размаха U по выходу..
А если это УПТ – его придётся балансировать (хотя , если схема подразумевает точность при большом КУ – всё равно балансировать придётся!)

Смотря для чего.
Если мы усиливаем синусоидальный сигнал, то при амплитуде, близкой к напряжению питания, она будет искажаться и при несимметричном питании искажения тоже будут несимметричными, что даст чётные гармоники. Нечётные будут всегда. Но поскольку идеальных операционников не бывает, то от чётных гармоник тоже всё равно никуда не денешься. Если же требуется только уверенная работа в области нулевого входного напряжения, то отрицательное напряжение питания может быть минимальным, вплоть до минус полвольта.
А в работе операционного усилителя надо просто помнить одно правило: "выход операционного усилителя стремится к тому, чтобы напряжение между входами равнялось нулю."

а что мешает сделать стабилизированное напряжение? ОУ не нужны большие мощности, так что любой китайский стаб пойдет

по-потребности.

Может быть и несимметричным. В этом случае немного ухудшится CMRR и PSRR.

"Пытаюсь разобраться в работе операционного усилителя."
Ты лучше бы изучил азы...
как устроен и работает ОУ мало кому нужно.

Насколько я знаю, не обязательно,но тогда надо это учитывать в схеме. Так-то есть схемы использования ОУ и с однополярным питанием.

Лучше строго, иначе синусоид не будет нужным и придется дополнять стабилизатором вход питания