Что делать, если багаж в аэропорту не пропустили и из-за этого опоздал на рейс.

смотря че вез, почему не пропустили?:)

Может и ничего запрещенного не было в багаже. Но возникли подозрения, и багаж проверяли более тщательно. Дольше, чем вам бы хотелось.
А вы на это не рассчитывали, времени на пересадку было у ВАС мало,

Это ваша вина. Скорее всего придется доплатить за новый билет. Не полниьую стоимость, а доплату.
Но все это зависит от компании.

Что значит не пропустили багаж? Т. е. Вы везли что-то на что нужно разрешение на вывоз или на ввоз? Так сначала читать надо, что и на каких условиях можно ввозить и вывозить, а что нет.

Если ваш багаж не пропустили, значит там было то что запрещено к перевозке в багаже, а значит вы опоздали потому что нарушили правила перевозки и виноваты в этом только вы.

Обратиться к старшему по смене. Новых билетов вам никто не даст. Если в вашем багаже ничего запрещенного к перевозке не было, а задержка возникла из за подозрений и проверки багажа. Могут по вашим же билетам посадить на следующий рейс. Но как дело будет в реальности не знаю

Из Питера багаж регистрируют сразу до Казахстана, в Москве его не досматривают, если единый билет, значит с Питера было сообщение на перепроверку, что было в чемодане? Если багаж нормальный, посадят на следующий рейс

На кассу в аэропорту пройдите и проконсультируйтесь. Всё скажут, что сделать.

Слишком мало информации, чтобы что-то советовать по данной ситуации. Быстрей и проще найти представителя авиакомпании и задать этот вопрос ему.