Помогите с точным решением задачи Коши для уравнение

Задача Коши — решение дифференциальног оуравнения с начальными условиями.
У вас здесь линейное неоднородное диф. уравнение. Решается следующим образом:
1) Находим решение однородного f(y^(n), y^(n-1),…y'', y' ,y) = 0 в виде y = e^(kx), затем составляем их линейную комбинацию)
2) Решаем неоднородное методом подбора. Подбор осуществляется по внешнем виду функции, которая пораждает неоднородность. Т. е. если это полином — пишем полином с коэффициентами (Ax^n + Bx^(n-1) +…+ Cx + D). Экспонета и в африке экспонента. Синусы — суперпозиция синуса и косинуса и т. д. Если в решении однородного есть кратные корни, то вся эта штука домножается на х в степени кратности корня. Находим коэффициенты и прибавляем к решению однородного
3) Подставляем начальные условия и определяем коэффициенты, которые стоят у решения однородного.

Для вашего случая:
y' = x-y+2
y' + y = x + 2
Однородное: y' + y = 0; y = e^kx; k + 1 = 0 => k = -1; y_одн = C*e^(-x)
Неоднородное: y = Ax+ B; y' = A
A + Ax + B = x + 2 => A = 1; A+B = 2 => B = 1 => y_неод = х+1
y = Ce^(-x) + x +1
Условия: y(0) = 2 => C + 1 = 2 => C = 1
решение задачи Коши: y = e^(-x) + x + 1