Решение задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений.

Вы не уточнили, каким методом. Решу в лоб, без теории систем, и без операционного исчисления...
dx/dt = 3 x - 2 y
dy/dt= 2 x - y
Вычтем из первого уравнения второе:
dx/dt - dy/dt = x - y
d(x - y)/dt = (x - y)
d(x - y)/(x - y) = dt
Интегрируем слева по x-y, справа по t:
ln|x-y| = C + t
x - y = C exp(t)
При t=0: x - y = C
По условию, при t = 0: x - y = 1 - 2 = -1
Т. е. C = -1, или:
y - x = exp(t)
y = x + exp(t)
Подставим в первое уравнение:
dx/dt = 3x - 2y
dx/dt = 3x - 2( x + exp(t) )
dx/dt = x - 2 exp(t)
Ищем x в виде: x(t) = A(t) exp(t)
d[ A(t) exp(t) ] / dt = A(t) exp(t) - 2 exp(t)
dA/dt exp(t) + A exp(t) = A exp(t) - 2 exp(t)
dA/dt exp(t) = -2 exp(t)
dA/dt = -2
dA = - 2 dt
интегрируем слева по A, справа по t:
А = с - 2 t
Тогда: x(t) = (c - 2 t) exp(t)
x(0) = c
по условию: x(0) = 1
т. е. c = 1.
x(t) = (1 - 2 t) exp(t)
y = x + exp(t) = 2(1 - t) exp(t)
Ответ:
x(t) = ( 1 - 2 t ) exp(t)
y(t) = 2 ( 1 - t ) exp(t)