помогите с простенькой задачкой по аналитической геометрии)...болела, пропустила тему, теперь мучаюсь...

Линия, у всех точек которой разность расстояний до двух точек величина постоянная - это гипербола.
Точки А и В - фокусы, а заданное расстояние 2V(2) = 2a.
а = V(2) - это действительная полуось. Центр гиперболы находится на середине АВ, О (3, 2)
Второй коэффициент с = расстоянию от центра до фокуса, |AO| = |BO| = 2 = c
Мнимую полуось находим из соотношения b^2 = c^2 - a^2 = 4 - 2 = 2, b = a = V(2)
Получается каноническое уравнение гиперболы
(x - xO)^2/a^2 - (y - yO)^2/b^2 = 1
(x - 3)^2/2 - (y - 2)^2/2 = 1

Ответ: гипербола (x - 3)^2/2 - (y - 2)^2/2 = 1

вообще-то, то что вы спрашиваете- изучают в 9 классе- как найти расстояние между двумя точками, если заданы их координаты!! !
пусть ваша точка M(x,y) лежит на вашей кривой
d1=((x-1)^2+(y-2)^2)^1/2
d2=((x-5)^2+(y-2))^2)^1/2
|d1-d2|=2*2^1/2
подставите, возведете в квадрат. получите ответ, лучше возводить так
d1=d2+2*2^1/2 а в предыдущем ответе вам уже написали, что должно получиться, но
это вообще-то каждый раз выводят!! !

Расстояние между точками определяется по формуле
|AC| = V[(xA - xC)^2 + (yA - yC)^2]
Пусть С - это наша текущая точка на линии, которую мы строим.
|AC| = V[(x - xA)^2 + (y - yA)^2] = V[(x - 1)^2 + (y - 2)^2]
|BC| = V[(x - xB)^2 + (y - yB)^2] = V[(x - 5)^2 + (y - 2)^2]
|AC| - |BC| = V[(x - 1)^2 + (y - 2)^2] - V[(x - 5)^2 + (y - 2)^2] = 2V(2)
И отсюда выводим, это очень длинно и трудно