Помогите решить по аналитической геометрии!!!

ВЫ ДОПУСТИЛИ ОШИБКУ!

в определении уравнения перпендикуляра СН.

Перпендикуляр СН - по определению перпендикулярен прямой (АВ), уравнение которой есть:

y = - (3/5)x - 31/5,

поскольку она проходит через точки
А (-7,-2), В (3,-8),

следовательно, общий вид уравнения прямой (СН) имеет вид:
y = (5/3)x + р,

поскольку произведение угловых коэффициентов у взаимно перпендикулярных прямых = (-1);
подставив значение С (-4,6), найдем:
6 = (5/3)*(-4) + р,
р = 6 + 20/3 = 18/3 + 20/3 = 38/3.

Итак, уравнение перпендикуляра (СН) имеет вид:
y = (5/3)x + 38/3,
или:
3у - 5х - 38 = 0.

Уравнение медианы (АМ), как Вы и определили, есть:
2x-13y-12=0.

Чтобы найти точку N (точка пересечения медианы AM и высоты CH), необходимо решить систему:
3у - 5х - 38 = 0.
2x-13y-12=0.

Умножив первое уравнение на 2, а второе - на 5, получим:
6у - 10х - 76 = 0.
10x - 65y - 60 = 0.

Сложив оба уравнения, нйдем:
-59у - 136 =0,

у = -136/59,

подставив у в
6у - 10х - 76 = 0, найдем:

10x = 6y - 76 = - 6*(136/59) - 76 =
= - [6*136 + 76*59]/59 = -[816 + 4484]/59=
= - 5300/59,

x = -530/59.

ОТВЕТ: N(-530/59; -136/59),
что равносильно
N(-8,98; -2,31),

Ну и решите систему этих двух уравнений, получите координаты искомой точки.