Решить систему методом Гаусса

Используй: h*ttp://ru.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/ убери *
Подробное решение.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель и убедившись, что он не равен нулю будем решать дальше. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если главный определитель не равен нулю, то строим матрицу подобную главной, только добавляем еще один столбец с числами за знаком равенства, в веденной Вами системе уравнений. Теперь, при помощи элементарных преобразований, приведем левую часть полученной матрицы к единичному виду. Тоесть мысленной выделим в новой матрице (n × n + 1) левую матрицу (n × n ) и приведем ее к единичному виду (оставим только числа на главной диагонали, затем сделаем их единицами). Числа правее приведенной к единичному виду матрице и будут решением Вашей системы уравнений.

Условие

x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 = 8
2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5
x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = -1
x 1 + x 2 - x 3 + 3x 4 = 10

Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

1
2
-1
1
2
1
1
1
1
-1
2
1
1
1
-1
3
= -3

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

1
2
-1
1
8
2
1
1
1
5
1
-1
2
1
-1
1
1
-1
3
10

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (4 × 4) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
2
-1
1
8
0
-3
3
-1
-11
0
-3
3
0
-9
0
-1
0
2
2

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
2
-1
1
8
0
-3
3
-1
-11
0
0
0
1
2
0
0
-1
2.33
5.67

На главной диагонали находится 0, исключаем его при помощи элементарных преобразований матриц. Вычетаем из 3 - ой строки одну из следующих строк (полностью строку), у которой элемент под нулевым элементом не равен нулю.

1
2
-1
1
8
0
-3
3
-1
-11
0
0
1
-1.33
-3.67
0
0
-1
2.33
5.67

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
2
-1
1
8
0
-3
3
-1
-11
0
0
1
-1.33
-3.67
0
0
0
1
2

Вычтем 4 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
2
-1
0
6
0
-3
3
0
-9
0
0
1
0
-1
0
0
0
1
2

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
2
0
0
5
0
-3
0
0
-6
0
0
1
0
-1
0
0
0
1
2

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

1
0
0
0
1
0
-3
0
0
-6
0
0
1
0
-1
0
0
0
1
2

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1
0
0
0
1
0
1
0
0
2
0
0
1
0
-1
0
0
0
1
2

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.

x 1 = 1
x 2 = 2
x 3 = -1
x 4 = 2

есть такая научная разработка: Гаусс-пушка. Идея в том, чтобы металлический снаряд разогнать при помощи электромагнитного поля. Вот берешь такую штуку и стреляешь по листочку. Нет задачи - проблема решена. Пользуйся наздоровье))