Помогите решить дифференциал

1)
Пусть есть функция:
f = f(x)
Заменим x на x+dx, тогда изменится и значение функции:
f(x+dx)
Представим функцию в новой точке, как функцию в старой точке + добавку:
f(x+dx) = f(x) + df
Тогда можем выразить эту добавку:
df = [ f(x+dx) - f(x) ]
Если функция без особенностей, то малому изменению x соответствует малое изменение f. То есть при устремлении dx к 0, к 0 должно стремиться и df.
Тогда можем вместо df рассмотреть отношение приращений:
df/dx = [ f(x+dx) - f(x) ] / dx
При стремлении dx к нулю:
df/dx = f '(x) - производная функции.
Тогда справедливо приближенное равенство:
f(x+dx) = f(x) + f '(x) dx
Оно выполняется тем лучше, чем меньше величина dx.
В вашей задаче нужно воспользоваться именно им.
2)
(7,64)^(1/3) = (8 - 0,36)^(1/3) = [ 8 (1 - 0,36/8) ]^(1/3) = 8^(1/3) [1 - 0,36/8]^(1/3) =
= 2 [1 - 0,045]^(1/3)
Рассмотрим функцию:
f(x) = x^(1/3)
Найдем производную:
f '(x) = (1/3) x^(-2/3)
Тогда, согласно формуле из (1):
f(x+dx) = f(x) + f '(x) dx
(x + dx)^(1/3) = x^(1/3) + x^(-2/3) (dx/3)
В качестве x возьмем 1
В качестве dx возьмем -0,045
(1 - 0,045)^(1/3) = 1 - 0,045 / 3 = 1 - 0,015 = 0,985
(приближенно)
Тогда:
(7,64)^(1/3) = 2 [1 - 0,045]^(1/3) = 2 0,985 = 1.97
(приближенно)
-
Ответ:
(7,64)^(1/3) = 1.97 (приближенно)