Если Xn+1=1.6Xn+2 то итерационный процесс сходится или расходится?

Итерационная последовательность будет сходиться, если коэффициент при хn меньше единицы. Так что эта последовательность расходится.

У вас есть уравнение:
X(n+1) = 1.6 X(n) + 2
Во-первых, давайте предположим, что нам известно какое-то X(0). Тогда:
X(1) = 1.6 X(0) + 2
X(2) = 1.6 X(1) + 2
и так далее. То есть нам сразу будут известны все X(n). Значит решение определяется всего одной константой.
Во-вторых, давайте предположим, что мы нашли два каких-то различных решения этого уравнения:
Y(n)
Z(n)
Тогда для каждого из них выполнено уравнение:
Y(n+1) = 1.6 Y(n) + 2
Z(n+1) = 1.6 Z(n) + 2
Вычтем эти уравнения:
[Z(n+1) - Y(n+1)] = 1,6 [Y(n) - Z(n)]
Если разность решений обозначить как:
Z(n) - Y(n) = D(n)
То для D(n) получается уравнение:
D(n+1) = 1.6 D(n)
Выходит, что решения исходного уравнения могут отличаться друг от друга только на решение однородного уравнения (без двойки справа). Давайте искать его решение в виде:
D(n) = k^n, (k не равно нулю)
Подставляем в уравнение для D, получаем:
k^(n+1) = 1.6 k^n
Видим, что:
k = 1.6
Тогда в общем виде решение однородного уравнения:
D(n) = C 1,6^n
А решение исходного уравнения:
X(n) = D(n) + Xч (n),
где Xч (n) - любое частное решение исходного уравнения. Его можно даже просто подобрать. Давайте подставим Xч (n) = A:
A = 1,6 A + 2
Тогда можем выразить A.
A = - 10 / 3
Получаем общее решение исходной задачи:
X(n) = C 1.6^n - 10/3
От куда мы знаем, что нет более общего решения? А мы уже выяснили, что все решение определяется одной произвольной константной. Можно выразить ее через X(0), чтоб было красиво:
X(n) = [X(0) + 10/3] 1.6^n - 10/3
Ну вот теперь сами скажите, сходится X(n) или нет)
Можно, конечно, и гораздо проще было решить, но если вы тут собираетесь вникать в вопросы сходимости и вообще в рекуррентные соотношения, то привыкайте к общему рассмотрению.